Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân. Trên các cạnh $CA$ và $AB$ lần lượt lấy các điểm $E,\,\, F$
Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân. Trên các cạnh $CA$ và $AB$ lần lượt lấy các điểm $E,\,\, F$ (không trùng với các đỉnh của tam giác) sao cho $AE = AF$. Trên đường thẳng $EF$, lấy các điểm $M,\,\, N$ sao cho đường thẳng $CM$ vuông góc với đường thẳng $CA$ và đường thẳng $BN$ vuông góc với đường thẳng $BA$. Gọi $K$ là giao điểm của hai đường thẳng $BN$ và $CM$.
1) Chứng minh rằng $KN = KM$
2) Dựng các hình bình hành $ANQF$ và $AMRE$. Chứng minh rằng $\angle NQK = \angle MRK$
3) Gọi $L,\,\, J$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của các điểm $M,\,\, N$ trên đường thẳng $BC$; $S$ là giao điểm của hai đường thẳng $JF$ và $LE;\,\, T$ là điểm đối xứng với điểm $S$ qua đường thẳng $EF$. Chứng minh rằng ba điểm $A,\,\, T,\,\, K$ thẳng hàng
Quảng cáo
1) Chứng minh $\angle KNM = \angle KMN$
Do đó tam giác $KMN$ cân tại $K$
Vậy $KM = KN$
2) Chứng minh $\Delta KNQ = \Delta KMR\,\,\left( {c.g.c} \right)$
Suy ra $\angle NQK = \angle MRK$ (đpcm)
3) Trên cạnh $EF$ lấy điểm $U$ sao cho $SU$ vuông góc với $BC$
Kẻ $KH$ vuông góc với $BC$
Qua $K$ kẻ đường thẳng song song với $MN$ cắt $AB,\,\, AC$ tương ứng tại $X,\,\, Y$
Áp dụng định lí Thales.
Chứng minh $\Delta NBF \backsim \Delta MCE$ và $\Delta KYC \backsim \Delta KXB\,\,\left( {g.g} \right)$
Khi đó $A,\,\, U,\,\, K$ thẳng hàng
Gọi $A'$ đối xứng với $A$ qua $EF$
Kẻ $AZ$ vuông góc với $BC$
Chứng minh $S,\,\, U,\,\, A'$ thẳng hàng
Từ đó ta có $T,\,\, U,\,\, A$ thẳng hàng
Vậy $T$ thuộc $AK$
1) Vì tam giác $AEF$ cân tại $A$ (do $AE = AF$) nên $\angle AEF = \angle AFE$
Mà $\angle MEC = \angle AEF,\,\,\angle NFB = \angle AFE$ nên $\angle MEC = \angle NFB$
Mặt khác $\angle FNB = 90{^\circ} - \angle NFB,\,\,\angle MEC = 90{^\circ} - \angle CME$ nên $\angle FNB = \angle CME$
Hay $\angle KNM = \angle KMN$
Do đó tam giác $KMN$ cân tại $K$
Vậy $KM = KN$
2) Vì $ANQF$ là hình bình hành nên $QN = AF$
Vì $AMRE$ là hình bình hành nên $AE = MR$
Mà $AE = AF$ nên $QN = MR$
Vì $ANQF$ là hình bình hành nên $QN \parallel AF$
Mà $AF\bot NK\,\,\left( {gt} \right)$nên $QN\bot NK$
Do đó $\angle QNK = 90{^\circ}$
Tương tư ta có $\angle RMK = 90{^\circ}$
Khi đó ta có $\Delta KNQ = \Delta KMR\,\,\left( {c.g.c} \right)$
Suy ra $\angle NQK = \angle MRK$ (đpcm)
3) Trên cạnh $EF$ lấy điểm $U$ sao cho $SU$ vuông góc với $BC$
Kẻ $KH$ vuông góc với $BC$
Qua $K$ kẻ đường thẳng song song với $MN$ cắt $AB,\,\, AC$ tương ứng tại $X,\,\, Y$
Áp dụng định lí Thales ta có: $\dfrac{NJ}{ML} = \dfrac{NJ}{SU}.\dfrac{SU}{ML} = \dfrac{NF}{FU}.\dfrac{EU}{EM} = \dfrac{NF}{EM}.\dfrac{EU}{FU}\,\,(1)$
Và $\dfrac{NJ}{ML} = \dfrac{NJ}{KH}.\dfrac{KH}{ML} = \dfrac{NB}{BK}.\dfrac{CK}{ML} = \dfrac{CK}{BK}.\dfrac{NB}{ML}\,\,(2)$
Xét $\Delta NBF$ và $\Delta MCE$ có
$\begin{array}{l} {\angle NBF = \angle MCE = 90{^\circ}} \\ {\angle BNF = \angle CME\,\,\left( {cmt} \right)} \end{array}$
Suy ra $\Delta NBF \backsim \Delta MCE$
Do đó $\dfrac{NB}{ML} = \dfrac{NF}{EM}\,\,(3)$
Từ (1), (2) và (3) suy ra $\dfrac{EU}{FU} = \dfrac{CK}{BK}\,\,(4)$
Ta có: $\angle KYC = \angle MEC = \angle AEF,\,\,\angle KXB = \angle NFB = \angle AFE$
Suy ra $\angle KYC = \angle KXB$
Xét $\Delta KYC$ và $\Delta KXB$ có
$\begin{array}{l} {\angle KYC = \angle KXB\,\,\left( {cmt} \right)} \\ {\angle KCY = \angle KBX = 90{^\circ}} \end{array}$
Do đó $\Delta KYC \backsim \Delta KXB\,\,\left( {g.g} \right)$
Suy ra $\dfrac{CK}{BK} = \dfrac{KY}{KX}\,\,(5)$
Từ (4) và (5) suy ra $\dfrac{EU}{FU} = \dfrac{KY}{KX}$
Do đó $A,\,\, U,\,\, K$ thẳng hàng
Gọi $A'$ đối xứng với $A$ qua $EF$
Kẻ $AZ$ vuông góc với $BC$
Ta có: $\angle KAC + \angle AKC = 90{^\circ},\,\,\angle BAZ + \angle ABZ = 90{^\circ},\,\,\angle ABZ = \angle AKC$
Do đó $\angle BAZ = \angle CAK$
Từ đó suy ra $\angle ZAA' = \angle UAA'$
Vì $U$ thuộc $EF$ nên $UA = UA'$
Do đó $\angle UA'A = \angle UAA' = \angle ZAA'$
Từ đó suy ra $UA' \parallel AZ$
Mà $AZ\bot BC$ nên $UA'\bot BC$
Suy ra $S,\,\, U,\,\, A'$ thẳng hàng
Từ đó ta có $T,\,\, U,\,\, A$ thẳng hàng
Vậy $T$ thuộc $AK$
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
