a) Tìm tất cả các cặp số nguyên $x,\,\, y$ thỏa mãn $y + \dfrac{1}{y} = \dfrac{x^{4} + 6x^{2} +

Câu hỏi số 799071:

Vận dụng

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên $x,\,\, y$ thỏa mãn $y + \dfrac{1}{y} = \dfrac{x^{4} + 6x^{2} + 1}{2x\left( {x^{2} + 1} \right)}$

b) Xét các số thực dương $a,\,\, b,\,\, c$ thỏa mãn $a + b + c = \dfrac{3}{2}$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M = \dfrac{\sqrt[3]{a}}{\left( {2 - a} \right)^{2}\left( {a + 2b} \right)} + \dfrac{\sqrt[3]{b}}{\left( {2 - b} \right)^{2}\left( {b + 2c} \right)} + \dfrac{\sqrt[3]{c}}{\left( {2 - c} \right)^{2}\left( {c + 2a} \right)}$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:799071

Phương pháp giải

a) Điều kiện $x \neq 0,\,\, y \neq 0$

Ta có: $y + \dfrac{1}{y} = \dfrac{x^{2} + 1}{2x} + \dfrac{2x}{x^{2} + 1}$

Do đó $\left( {y - \dfrac{x^{2} + 1}{2x}} \right)\left\lbrack {1 - \dfrac{2x}{y\left( {x^{2} + 1} \right)}} \right\rbrack = 0$

Trường hợp 1: $y = \dfrac{x^{2} + 1}{2x}$

Trường hợp 2: $1 - \dfrac{2x}{y\left( {x^{2} + 1} \right)} = 0$

b) Ta có: $M = \dfrac{a}{\sqrt[3]{a^{2}}\left( {2 - a} \right)^{2}\left( {a + 2b} \right)} + \dfrac{b}{\sqrt[3]{b^{2}}\left( {2 - b} \right)^{2}\left( {b + 2c} \right)} + \dfrac{c}{\sqrt[3]{c^{2}}\left( {2 - c} \right)^{2}\left( {c + 2a} \right)}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy.

Giải chi tiết

a) Điều kiện $x \neq 0,\,\, y \neq 0$

Ta có: $y + \dfrac{1}{y} = \dfrac{x^{2} + 1}{2x} + \dfrac{2x}{x^{2} + 1}$

Hay $\left( {y - \dfrac{x^{2} + 1}{2x}} \right) + \left( {\dfrac{1}{y} - \dfrac{2x}{x^{2} + 1}} \right) = 0$

Do đó $\left( {y - \dfrac{x^{2} + 1}{2x}} \right)\left\lbrack {1 - \dfrac{2x}{y\left( {x^{2} + 1} \right)}} \right\rbrack = 0$

Trường hợp 1: $y = \dfrac{x^{2} + 1}{2x}$

Vì $y \in {\mathbb{Z}}$ nên $\left( {x^{2} + 1} \right) \vdots x$

Suy ra $1 \vdots x$ (vì $x^{2} \vdots x$)

Mà $x \in {\mathbb{Z}}$ nên $x = \pm 1$

Trường hợp 2: $1 - \dfrac{2x}{y\left( {x^{2} + 1} \right)} = 0$

Khi đó $y = \dfrac{2x}{x^{2} + 1}$

Vì $0 < \dfrac{2x}{x^{2} + 1} \leq 1$ nên $0 < y \leq 1$

Mà $y \in {\mathbb{Z}}$ nên $y = 1$

Do đó $\dfrac{2x}{x^{2} + 1} = 1$ hay $\left( {x - 1} \right)^{2} = 0$

Khi đó $x = 1$

Thử lại ta thấy các giá trị $x,\,\, y$ tìm được đều thỏa mãn

Vậy các cặp số $\left( {x;y} \right)$ thỏa mãn là $\left( {1;1} \right)$ và $\left( {- 1; - 1} \right)$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

$\sqrt[3]{a^{2}} = \sqrt[3]{2}.\sqrt[3]{a.a.\dfrac{1}{2}} \leq \sqrt[3]{2}.\dfrac{a + a + \dfrac{1}{2}}{3} = \dfrac{\sqrt[3]{2}}{6}\left( {4a + 1} \right)$

Do đó

$\begin{array}{l} {\sqrt[3]{a^{2}}\left( {2 - a} \right)^{2} \leq \dfrac{\sqrt[3]{2}}{6}\left( {4a + 1} \right)\left( {2 - a} \right)^{2} = \dfrac{\sqrt[3]{2}}{24}\left( {4a + 1} \right)\left( {4 - 2a} \right)\left( {4 - 2a} \right)} \\ {\leq \dfrac{\sqrt[3]{2}}{24}.\dfrac{\left( {4a + 1 + 4 - 2a + 4 - 2a} \right)^{3}}{27} = \dfrac{9}{8}\sqrt[3]{2}} \end{array}$

Do đó $M \geq \dfrac{8}{9\sqrt[3]{2}}\left( {\dfrac{a}{a + 2b} + \dfrac{b}{b + 2c} + \dfrac{c}{c + 2a}} \right)$

Ta có:

$\dfrac{a}{a + 2b} + \dfrac{b}{b + 2c} + \dfrac{c}{c + 2a} = \dfrac{a^{2}}{a^{2} + 2ab} + \dfrac{b^{2}}{b^{2} + 2bc} + \dfrac{c^{2}}{c^{2} + 2ca}$

$\geq \dfrac{\left( {a + b + c} \right)^{2}}{a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2ab + 2bc + 2ca} = 1$

Như vậy $M \geq \dfrac{8}{9\sqrt[3]{2}} = \dfrac{4\sqrt[3]{4}}{9}$

Dấu $" = "$ xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c = \dfrac{1}{2}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $M = \dfrac{4\sqrt[3]{4}}{9}$ xảy ra khi $a = b = c = \dfrac{1}{2}$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link