Bác Nam muốn làm một cửa sổ khuôn gỗ, phía trên có dạng nửa hình tròn, phía dưới có dạng

Câu hỏi số 799984:

Vận dụng

Bác Nam muốn làm một cửa sổ khuôn gỗ, phía trên có dạng nửa hình tròn, phía dưới có dạng hình chữ nhật. Biết rằng đường kính của nửa hình tròn cũng là cạnh phía trên của hình chữ nhật và tổng độ dài của khuôn gỗ (các đường in đậm trong hình bên, bỏ qua độ rộng của cạnh khuôn gỗ) là 8 m. Em hãy giúp bác An tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật để cửa sổ có diện tích lớn nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:799984

Phương pháp giải

Gọi độ dài chiều rộng của HCN là: $x(m)\ (0 < x < 8)$

Gọi độ dài chiều dài của HCN là: $y(m)\ (0 < y < 8)$

Phân tích tính diện tích của cửa sổ $= - \dfrac{\pi + 4}{8}\left( {x - \dfrac{16}{\pi + 4}} \right)^{2} + \dfrac{32}{\pi + 4}$

Từ đó tìm GTLN.

Giải chi tiết

Gọi độ dài chiều rộng của HCN là: $x(m)\ (0 < x < 8)$

Gọi độ dài chiều dài của HCN là: $y(m)\ (0 < y < 8)$

Ta thấy độ dài chiều rộng của HCN là đường kính của nửa hình tròn

$\Rightarrow$ Bán kính của nửa hình tròn là: $\dfrac{x}{2}(m)$

Vì độ dài khuôn gỗ là 8(m) nên ta có: $2y + x + \dfrac{1}{2} \cdot 2\pi \cdot \dfrac{x}{2} = 8$

$\begin{array}{l} {2y = 8 - x - \dfrac{\pi x}{2}} \\ {y = 4 - \dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi x}{4}} \\ {y = 4 - \dfrac{2x}{4} - \dfrac{\pi x}{4}} \\ {y = 4 - \left( \dfrac{\pi + 2}{4} \right)x} \end{array}$

Diện tích của cửa sổ là:

$\begin{array}{l} {\dfrac{1}{2} \cdot \pi\left( \dfrac{x}{2} \right)^{2} + x\left\lbrack {4 - \left( \dfrac{\pi + 2}{4} \right)x} \right\rbrack = \dfrac{\pi}{8}x^{2} + 4x - \left( \dfrac{\pi + 2}{4} \right)x^{2}} \\ {= \left( {\dfrac{\pi}{8} - \dfrac{\pi + 2}{4}} \right)x^{2} + 4x = - \dfrac{\pi + 4}{8}x^{2} + 4x} \\ {= - \dfrac{\pi + 4}{8}\left( {x^{2} - 4:\dfrac{\pi + 4}{8}x} \right)} \end{array}$

$\begin{array}{l} {= - \dfrac{\pi + 4}{8}\left( {x^{2} - \dfrac{32}{\pi + 4}x} \right)} \\ {= - \dfrac{\pi + 4}{8}\left\lbrack {x^{2} - 2 \cdot x \cdot \dfrac{16}{\pi + 4} + \left( \dfrac{16}{\pi + 4} \right)^{2}} \right\rbrack + \dfrac{\pi + 4}{8} \cdot \dfrac{16}{{(\pi + 4)}^{2}}} \end{array}$

$= - \dfrac{\pi + 4}{8}\left( {x - \dfrac{16}{\pi + 4}} \right)^{2} + \dfrac{32}{\pi + 4}$

Ta có $\left( {x - \dfrac{16}{\pi + 4}} \right)^{2} \geq 0$. Do đó $- \dfrac{\pi + 4}{8}\left( {x - \dfrac{16}{\pi + 4}} \right)^{2} \leq 0$

$\left. \Rightarrow - \dfrac{\pi + 4}{8}\left( {x - \dfrac{16}{\pi + 4}} \right)^{2} + \dfrac{32}{\pi + 4} \leq \dfrac{32}{\pi + 4} \right.$

Dấu “=” xảy ra khi $x = \dfrac{16}{\pi + 4}$

Vậy diện tích lớn nhất của cửa sổ là $\dfrac{32}{\pi + 4}\left( m^{2} \right)$ khi chiều rộng của HCN là: $\dfrac{16}{\pi + 4}(m)$ và chiều dài của HCN là: $y = 4 - \left( \dfrac{\pi + 2}{4} \right) \cdot \dfrac{16}{\pi + 4} = \dfrac{8}{\pi + 4}(~m)$

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link