Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông với $AB = 2$. Biết rằng hình chiếu vuông góc

Câu hỏi số 801570:

Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông với $AB = 2$. Biết rằng hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là trọng tâm $H$ của tam giác $ABC$ và $SH = \sqrt{2}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC$ và $SD$ là bao nhiêu (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hang phần trăm)?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:801570

Phương pháp giải

Đưa khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau về khoảng cách từ chân đường cao đến một mặt phẳng

Giải chi tiết

Gọi $M$ là trung điểm của $SB;O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ nên $O$ là trung điểm của $BD$.

Do $OM$ là đường trung bình của tam giác $SBD$ nên $SD//OM$ yà $OM \subset \left( {AMC} \right)$ nên $SD//\left( {AMC} \right)$.

Khi đó: $d\left( {SD,AC} \right) = d\left( {SD,\left( {AMC} \right)} \right) = d\left( {S,\left( {AMC} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {AMC} \right)} \right)$ ($M$ là trung điểm của $SB$).

Gọi $K$ là trung điểm của $HB$.

Khi đó $MK = \dfrac{1}{2}SH = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ và $MK//SH$ nên $MK\bot\left( {ABCD} \right)$.

Mà $OB = \dfrac{3}{2}OK$ nên $d\left( {B,\left( {AMC} \right)} \right) = \dfrac{3}{2}d\left( {K,\left( {AMC} \right)} \right)$.

Mặt khác $OK = OB - KB = OB - \dfrac{1}{2}HB = OB - \dfrac{1}{3}OB = \dfrac{2}{3}OB = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$.

Vậy $d\left( {SD,AC} \right) = \dfrac{3}{2}d\left( {K,\left( {AMC} \right)} \right) = \dfrac{3}{2}\dfrac{MK.OK}{\sqrt{MK^{2} + OK^{2}}} = \dfrac{3\sqrt{2}}{5} \approx 0.85$.

Đáp án cần điền là: 0,85

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.