Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi với $\widehat{ABC} = 60^{\circ}$ và $AB = 4$. Biết rằng

Câu hỏi số 801660:

Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi với $\widehat{ABC} = 60^{\circ}$ và $AB = 4$. Biết rằng hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là trọng tâm $H$ của tam giác $ABC$ và $SH = 2\sqrt{3}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC$ và $SD$ bằng bao nhiêu (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:801660

Phương pháp giải

Đưa khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau về khoảng cách từ chân đường cao đến một mặt phẳng

Giải chi tiết

Gọi $O$ là tâm hình thoi $ABCD$

Dễ thấy $ABCD$ là hình thoi nên $\widehat{ABC} = 60^{\circ}$ suy ra $ABC,ACD$ là hai tam giác đều

$OD = BO = \sqrt{AB^{2} - AO^{2}} = \sqrt{4^{2} - 2^{2}} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

Vẽ $OM\bot SD$

Vì $\left. \left. \begin{matrix} {AC\bot\left( {SBD} \right)} \\ {\text{OM}\bot\text{SD}} \end{matrix} \right\}\Rightarrow AC\bot OM\Rightarrow d\left( {AC,SA} \right) = OM \right.$

Vẽ $HK\bot SD$. Vì $H$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên $\left. \dfrac{HO}{OD} = \dfrac{HO}{BO} = \dfrac{1}{3}\Rightarrow\dfrac{OD}{HD} = \dfrac{3}{4} \right.$

Ta có: $\left. \dfrac{OM}{HK} = \dfrac{OD}{HD} = \dfrac{3}{4}\Rightarrow OM = \dfrac{3}{4} \cdot HK \right.$

Ta có: $HD = \dfrac{4}{3} \cdot BO = \dfrac{4}{3} \cdot 2\sqrt{3} = \dfrac{8\sqrt{3}}{3}$

$\left. \Rightarrow HK = \sqrt{\dfrac{SH^{2} \cdot HD^{2}}{SH^{2} + HD^{2}}} = \sqrt{\dfrac{{(2\sqrt{3})}^{2} \cdot \left( \dfrac{8\sqrt{3}}{3} \right)^{2}}{{(2\sqrt{3})}^{2} + \left( \dfrac{8\sqrt{3}}{3} \right)^{2}}} = \dfrac{8\sqrt{3}}{5} \right.$

$\left. \Rightarrow OM = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{8\sqrt{3}}{5} = \dfrac{6\sqrt{3}}{5} \approx 2,08 \right.$

Đáp án cần điền là: 2,08

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.