Cho đường tròn $(O)$ và điểm $A$ nằm ngoài đường tròn. Từ $A$ kẻ các tiếp tuyến $AB,AC$ với

Câu hỏi số 805141:

Vận dụng

Cho đường tròn $(O)$ và điểm $A$ nằm ngoài đường tròn. Từ $A$ kẻ các tiếp tuyến $AB,AC$ với đường tròn $(O)$ ($B,C$ là tiếp điểm). Gọi giao điểm của $AO$ và $BC$ là $H$.
a) Chứng minh $AO$ vuông góc với $BC$ và $4OH.AH = BC^{2}$.
b) Kẻ đường kính $BD$ của $(O)$. Gọi $I$ là trung điểm $AH;BI$ cắt $(O)$ tại $E$ và cắt $DC$ kéo dài tại $K$. Chứng minh tứ giác $BHKA$ là hình bình hành và $D,H,E$ thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:805141

Phương pháp giải

a) Chứng minh $H$ là trung điểm của $BC$
Do đó $BH = CH = \dfrac{BC}{2}$ (1)

Chứng minh $\Delta HBA \backsim \Delta HOB$ (g.g)
Suy ra $\dfrac{HB}{HA} = \dfrac{HO}{HB}$ hay $HB^{2} = HA \cdot HO$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\left( \dfrac{BC}{2} \right)^{2} = HA.HO$ hay $4OH.AH = BC^{2}$ (đpcm)

b) Chứng minh $I$ là trung điểm $BK$.
Xét tứ giác $BHKA$, có hai đường chéo $BK$ và $AH$ cắt nhau tại trung điểm $I$ của mỗi đường.
Suy ra tứ giác $BHKA$ là hình bình hành (dhnb).

Chứng minh $DH\bot BE$ và $DE\bot BE$ suy ra ba điểm $D,H,E$ thẳng hàng.

Giải chi tiết

a) Vì $AB,AC$ là hai tiếp tuyến cắt nhau của $(O)$ nên $AB = AC$
Suy ra $A$ thuộc đường trung trực của $BC$

Lại có $OB = OC$ suy ra $O$ thuộc đường trung trực của $BC$
Từ đó suy ra $OA$ là đường trung trực của $BC$.
Do đó $OA\bot BC$.

Vì $OA$ là đường trung trực của $BC$, mà $OA$ cắt $BC$ tại $H$
Suy ra $H$ là trung điểm của $BC$
Do đó $BH = CH = \dfrac{BC}{2}$ (1)

Xét tam giác vuông $HBA$ và tam giác vuông $HOB$ có:

$\angle HAB = \angle HBO$ (cùng cộng với $\angle ABH$ bằng $90^{0}$)

Vậy $\Delta HBA \backsim \Delta HOB$ (g.g)
Suy ra $\dfrac{HB}{HA} = \dfrac{HO}{HB}$ hay $HB^{2} = HA \cdot HO$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\left( \dfrac{BC}{2} \right)^{2} = HA.HO$ hay $4OH.AH = BC^{2}$ (đpcm)

b) Xét $\Delta BCD$ có $CO$ là đường trung tuyến ứng với một cạnh và bằng nửa cạnh ấy
Suy ra $\Delta BCD$ vuông tại $C$, từ đó ta có $BC\bot CD$ (3)

Theo a, ta lại có $OA\bot BC$ (4)
Từ (3) và (4) suy ra $OA//CD$ hay $OI//KD$.
Xét $\Delta BKD$ có $O$ là trung điểm $BD;OI//KD$
Suy ra $I$ là trung điểm $BK$.
Xét tứ giác $BHKA$, có hai đường chéo $BK$ và $AH$ cắt nhau tại trung điểm $I$ của mỗi đường.
Suy ra tứ giác $BHKA$ là hình bình hành (dhnb).

Vì $AB$ là tiếp tuyến của $(O)$ nên $AB\bot BD$ (5)

Lại có tứ giác $BHKA$ là hình bình hành nên $AB//KH$ (6)
Từ (5) và (6) suy ra $KH\bot BD$.
Gọi giao điểm của $KH$ và $BD$ là $F$. Suy ra $KF$ là đường cao của $\Delta BKD$ (7)

Theo (3) thì $BC\bot CD$ mà $K$ thuộc $CD$, do đó $BC\bot KD$

Suy ra $BC$ là một đường cao của $\Delta BKD$ (8)
Mà $BC$ cắt $KF$ tại $H$ (9)
Từ (7) (8) (9) ta suy ra $H$ là trực tâm của $\Delta BKD$
Do đó $DH\bot BK$ hay $DH\bot BE$ (10)

Xét $\Delta BED$ có $EO$ là đường trung tuyến ứng với một cạnh và bằng nửa cạnh ấy
Suy ra $\Delta BED$ vuông tại $E$, từ đó ta có $DE\bot BE$ (11)
Từ (10) và (11) suy ra ba điểm $D,H,E$ thẳng hàng.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link