Hai bạn An và Bình tham gia một trò chơi cờ vua. Xác suất thắng của An trong

Câu hỏi số 806163:

Vận dụng

Hai bạn An và Bình tham gia một trò chơi cờ vua. Xác suất thắng của An trong mỗi ván là \(p = \dfrac{2}{3}\). Trò chơi kết thúc khi có một người có số ván thắng nhiều hơn người kia 2 ván và người đó thắng cuộc. Tính xác suất để An thắng cuộc.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:806163

Phương pháp giải

Xây dựng chuỗi xác suất

An thắng cuộc có nghĩa là: An thắng sau 2 ván, hoặc An thắng sau 4 ván, hoặc An thắng sau 6 ván,… Vì các trường hợp không thể xảy ra đồng thời, xác suất để A thắng cuộc là tổng xác suất của tất cả các trường hợp trên.

Tính xác suất từng trường hợp, áp dụng công thức tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.

Giải chi tiết

P(An thắng) = P(An thắng sau 2 ván) + P(An thắng sau 4 ván) + P(An thắng sau 6 ván}) + ...

Tính xác suất cho từng trường hợp:

+) P(An thắng sau 2 ván): An phải thắng cả 2 ván đầu. Xác suất là: \({p^2}\).

+) P(An thắng sau 4 ván):

Điều kiện: 2 ván đầu phải hòa (để trò chơi không kết thúc).

Xác suất hòa sau 2 ván là: \(p(1 - p) + (1 - p)p = 2p(1 - p)\).

Sau đó An phải thắng 2 ván tiếp theo (ván 3 và 4).

Suy ra: P(An thắng sau 4 ván) \( = \left[ {2p(1 - p)} \right].{p^2}\).

+) P(An thắng sau 6 ván):

Điều kiện: 4 ván đầu hòa. Xác suất là: \({\left[ {2p(1 - p)} \right]^2}\).

Sau đó An phải thắng 2 ván cuối.

Suy ra: P(An thắng sau 6 ván) = \({\left[ {2p(1 - p)} \right]^2}.{p^2}\)

Từ các bước trên, ta thấy một quy luật xác suất để An thắng sau 2n ván:

P(An thắng sau 2n ván) = \({[2p(1 - p)]^{n - 1}} \cdot {p^2}\)

Vậy xác suất để An thắng cuộc là tổng của chuỗi vô hạn:

P(An thắng) = \({p^2} + [2p(1 - p)]{p^2} + {[2p(1 - p)]^2}{p^2} + \ldots \)

Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với: số hạng đầu: \(a = {p^2}\); công bội: \(q = 2p(1 - p)\)

Áp dụng công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn \(S = \dfrac{a}{{1 - q}}\), ta có:

P(An thắng) = \(\dfrac{{{p^2}}}{{1 - 2p(1 - p)}} = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^2}}}{{1 - 2.\dfrac{2}{3}.\left( {1 - \dfrac{2}{3}} \right)}} = 0,8.\)

Đáp án cần điền là: 0,8

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.