Xét phương trình $e^{x} - \log_{b}\left( {x + a} \right) = 0$ trong đó a, b là
Xét phương trình $e^{x} - \log_{b}\left( {x + a} \right) = 0$ trong đó a, b là các số nguyên dương nhỏ hơn 30, với $b > 1$. Những khẳng định nào dưới đây là đúng.
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Lập luận các giá trị của a tìm tương ứng b và ngược lại.
Tìm số giao điểm của 2 đồ thị để từ đó suy ra số nghiệm của phương trình.
1. Với $a = 1$ thì phương trình trở thành $e^{x} = \log_{b}\left( {x + 1} \right)$ với $b > 0,b \neq 1$
Xét $f(x) = \log_{b}\left( {x + 1} \right)$ với $b \in \left\{ {2,3,...,30} \right\}$ và $x \in \left( {- 1, + \infty} \right)$
$f'(x) = \dfrac{1}{(x + 1).\ln b} > 0$ nên $f(x)$ luôn đồng biến.
Vì $\lim\limits_{x\rightarrow - 1^{+}}f(x) = - \infty$ nên $f(x)$ có TCĐ: $x = - 1$
Khi đó ta vẽ 2 đồ thị như sau:
Vậy phương trình luôn vô nghiệm khi $a = 1$ $\rightarrow$ 1 sai.
2. Với $a = 3$ thì phương trình trở thành $e^{x} = \log_{b}\left( {x + 3} \right)$ với $b > 0,b \neq 1$
Xét $f(x) = \log_{b}\left( {x + 3} \right)$ với $b \in \left\{ {2,3,...,30} \right\}$ và $x \in \left( {- 3, + \infty} \right)$
Hàm số $f(x) = \log_{b}\left( {x + 3} \right)$ luôn đồng biến. Xét tại $b = 3$ thì ta có đồ thị như sau
Vậy hàm số có nhiều nhất 2 nghiệm $\rightarrow$ 2 đúng.
3. Khi $b = 2$ thì $\left. e^{x} = \log_{2}\left( {x + a} \right)\Leftrightarrow x + a = 2^{e^{x}} \right.$
Với $a = 1$ phương trình vô nghiệm
Với $a = 2$ thì phương trình có 1 nghiệm $x = 0$ và 1 nghiệm $x < 0$ nên có 2 nghiệm phân biệt
Với $a = 3;4;...;30$ đường thẳng $y = x + a$ luôn cắt $y = 2^{e^{x}}$ tại 2 điểm phân biệt nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Vậy có tất cả 28 cặp $\left( {a,b} \right)$ để phương trình có 2 nghiệm phân biệt $\left. \rightarrow 3 \right.$ sai.
4. Ta thấy đồ thị hàm số $b = 2$ thì $y = 2^{e^{x}}$ là đường cong $(C)$ và $y = x + a$ là đường thẳng $(d)$ luôn tạo với 2 trục Ox, Oy một tam giác cân và tiến dần từ $\left( {0;1} \right)$ đến $\left( {0;30} \right)$ trên trục Oy.
Ta thấy khi $a = 1$ thì $(d)$ không cắt $(C)$
Khi $a \geq 2$ thì $(d)$ luôn cắt $(C)$ tại 2 điểm phân biệt
Vậy không có giá trị a nào để phương trình có nghiệm duy nhất $\left. \rightarrow 4 \right.$ sai.
5. Với $b = 2$ không có giá trị nào của a để phương trình có nghiệm duy nhất
Với $b = 3$, $a = 1;2$ thì phương trình vô nghiệm. Với $b = 3;a = 3$ thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt nên với $b = 3$ không có giá trị nào của a để phương trình có nghiệm duy nhất.
Tương tự với $b \in \left\{ {4;5;...;30} \right\}$ không có giá trị nào của a để phương trình có nghiệm duy nhất.
Vậy không có cặp $\left( {a,b} \right)$ nào để để phương trình có nghiệm duy nhất $\left. \rightarrow 5 \right.$ sai.
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
