Cho tứ diện \(ABCD\) và \(M,\,\,N,\,\,P\) là các điểm trên các cạnh

Câu hỏi số 814377:

Vận dụng

Cho tứ diện \(ABCD\) và \(M,\,\,N,\,\,P\) là các điểm trên các cạnh \(AB,\,\,CD,\,\,AC\) sao cho \(\dfrac{{AM}}{{MB}} = \dfrac{{CN}}{{ND}} \ne \dfrac{{AP}}{{PC}}\) và \(AM = MB\). Tỉ số diện tích \(\Delta MNP\) và diện tích thiết diện của tứ diện cắt bởi \(\left( {MNP} \right)\) theo \(k\) là

Đáp án:

Đáp án đúng là: 1/2

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:814377

Phương pháp giải

Xác định thiết diện của tứ diện bằng cách tìm các giao tuyến trong các mặt phẳng chứa cạnh.
Dùng tính chất song song và định lý Thales để thiết lập tỉ số các đoạn thẳng.
Dùng quan hệ tỉ số diện tích tam giác và đoạn thẳng chia cạnh song song.

Giải chi tiết

Trong \(\left( {ABC} \right)\), \(\dfrac{{AM}}{{MB}} \ne \dfrac{{AP}}{{PC}}\) nên \(BC \cap MP = R\)

Trong \(\left( {BCD} \right)\), gọi \(Q = NR \cap BD\)

Khi đó thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) là tứ giác \(MNPQ\)

Gọi \(K = MN \cap PQ\)

Khi đó \(\dfrac{{{S_{MNP}}}}{{{S_{MNPQ}}}} = \dfrac{{PK}}{{PQ}}\)

Do \(\dfrac{{AM}}{{MB}} = \dfrac{{CN}}{{ND}}\) nên \(AC,\,\,MN,\,\,BD\) lần lượt thuộc ba mặt phẳng song song với nhau và đường thẳng \(PQ\) cắt ba mặt phẳng này tương ứng tại các điểm \(P,\,\,K,\,\,Q\)

Áp dụng định lí Thales ta được \(\dfrac{{PK}}{{KQ}} = \dfrac{{AM}}{{MB}} = \dfrac{{CN}}{{ND}} = 1\)

\(\Rightarrow \dfrac{{PK}}{{PQ}} = \dfrac{{PK}}{{PK + KQ}} = \dfrac{{\dfrac{{PK}}{{KQ}}}}{{\dfrac{{PK}}{{KQ}} + 1}} = \dfrac{1}{2}\).

Đáp án cần điền là: 1/2

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.