Phương trình $x^{3} + x\left( {x + 1} \right) = m\left( {x^{2} + 1} \right)^{2}$ có nghiệm thực khi
Phương trình $x^{3} + x\left( {x + 1} \right) = m\left( {x^{2} + 1} \right)^{2}$ có nghiệm thực khi và chỉ khi:
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Công thức cần dùng: Số nghiệm của phương trình $f(x) = m$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f(x)$ và đường thẳng $y = m$.
Các bước giải:
Bước 1: Cố lập tham số $m$. Biến đổi phương trình về dạng $m = \dfrac{x^{3} + x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$. Đặt $f(x)$ là vế phải.
Bước 2: Khảo sát hàm số $f(x)$.
- Tính đạo hàm $f'(x)$.
- Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình $f'(x) = 0$.
- Tính giá trị cực đại, cực tiểu và xét giới hạn của $f(x)$ khi $\left. x\rightarrow \pm \infty \right.$.
Bước 3: Kết luận. Dựa vào bảng biến thiên, xác định tập giá trị của $f(x)$. Phương trình có nghiệm khi $m$ thuộc tập giá trị đó, tức là $min(f(x)) \leq m \leq max(f(x))$.
Cách 1: Sử dụng máy tính bỏ túi.
$\left. x^{3} + x\left( {x + 1} \right) = m\left( {x^{2} + 1} \right)^{2}\Leftrightarrow mx^{4} - x^{3} + \left( {2m - 1} \right)x^{2} - x + m = 0 \right.$
Chọn $m = 3$ phương trình trở thành $3x^{4} - x^{3} + 5x^{2} - x + 3 = 0$ (không có nghiệm thực) nên loại đáp án B, C.
Chọn $m = - 6$ phương trình trở thành $- 6x^{4} - x^{3} - 13x^{2} - x - 6 = 0$ (không có nghiệm thực) nên loại đáp án A.
Kiểm tra với $m = 0$ phương trình trở thành $\left. - x^{3} - x^{2} - x = 0\Leftrightarrow x = 0 \right.$nên chọn đáp án D.
Cách 2: Tự luận
Ta có $\left. x^{3} + x\left( {x + 1} \right) = m\left( {x^{2} + 1} \right)^{2}\Leftrightarrow m = \dfrac{x^{3} + x^{2} + x}{x^{4} + 2x^{2} + 1} \right.$ (1)
Xét hàm số $y = \dfrac{x^{3} + x^{2} + x}{x^{4} + 2x^{2} + 1}$ xác định trên $\mathbb{R}$.
$\begin{array}{l} {y' = \dfrac{\left( {x^{3} + x^{2} + x} \right)'\left( {x^{4} + 2x^{2} + 1} \right) - \left( {x^{3} + x^{2} + x} \right)\left( {x^{4} + 2x^{2} + 1} \right)'}{\left( {x^{4} + 2x^{2} + 1} \right)^{2}}} \\ {= \dfrac{\left( {3x^{2} + 2x + 1} \right)\left( {x^{4} + 2x^{2} + 1} \right) - \left( {x^{3} + x^{2} + x} \right)\left( {4x^{3} + 4x} \right)}{\left( {x^{4} + 2x^{2} + 1} \right)^{2}}} \\ {= \dfrac{- x^{6} - 2x^{5} - x^{4} + x^{2} + 2x + 1}{\left( {x^{4} + 2x^{2} + 1} \right)^{2}}} \\ {= \dfrac{\left( {- x^{4} + 1} \right)\left( {x^{2} + 2x + 1} \right)}{\left( {x^{4} + 2x^{2} + 1} \right)^{2}}} \end{array}$
$\left. y' = 0\Leftrightarrow\left( {- x^{4} + 1} \right)\left( {x^{2} + 2x + 1} \right) = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = 1} \\ {x = - 1} \end{array} \right. \right.$
Bảng biến thiên
Phương trình (1) có nghiệm thực khi đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số $y = \dfrac{x^{3} + x^{2} + x}{x^{4} + 2x^{2} + 1}$
$\left. \Leftrightarrow\dfrac{- 1}{4} \leq m \leq \dfrac{3}{4} \right.$.
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
