Cắt một miếng giấy hình vuông ở hình $1$ và xếp thành một hình chóp tứ giác đều như hình

Câu hỏi số 816463:

Vận dụng

Cắt một miếng giấy hình vuông ở hình $1$ và xếp thành một hình chóp tứ giác đều như hình vẽ. Biết cạnh hình vuông bằng $20cm$, $OM = x\left( {cm} \right)$. Tìm $x$ để hình chóp đều ấy có thể tích lớn nhất?

A. $x = 9cm$.

B. $x = 8cm$.

C. $x = 6cm$.

D. $x = 7cm$.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:816463

Phương pháp giải

Công thức:

- Thể tích khối chóp: $V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{d\text{á}y} \cdot h$.

- Điều kiện để hàm số đạt cực trị: $f'(x) = 0$.

Phương pháp giải:

1. Biểu diễn các kích thước của hình chóp (diện tích đáy, chiều cao) theo biến số $x$.

2. Lập công thức tính thể tích $V(x)$ của hình chóp theo $x$.

3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm $V(x)$ bằng cách khảo sát hàm số (tính đạo hàm, tìm điểm cực trị) hoặc dùng bất đẳng thức AM-GM.

Giải chi tiết

Ta có: $\left. OM = x\Rightarrow AC = 2x \right.$, $AM = \sqrt{2}x$.

Suy ra: $OH = \dfrac{x}{\sqrt{2}}$, $MH = \dfrac{x}{\sqrt{2}}$, $SH = 10\sqrt{2} - \dfrac{x}{\sqrt{2}}$.

$SO = \sqrt{SH^{2} - OH^{2}} = \sqrt{\left( {\dfrac{10}{\sqrt{2}} - \dfrac{x}{\sqrt{2}}} \right)^{2} - \left( \dfrac{x}{\sqrt{2}} \right)^{2}} = \sqrt{20\left( {10 - x} \right)}$

$V = \dfrac{1}{3}SO.S_{đáy} = \dfrac{1}{3}\sqrt{20\left( {10 - x} \right)}.2x^{2} = \dfrac{\sqrt{20}}{3}\sqrt{40 - 4x}.x^{2}$

$\left. \Leftrightarrow V = \dfrac{\sqrt{20}}{3}\sqrt{\left( {40 - 4x} \right).x.x.x.} \leq \dfrac{\sqrt{20}}{3}\sqrt{\left( \dfrac{40 - 4x + x + x + x + x}{5} \right)^{5}} = \dfrac{\sqrt{20}}{3}.2^{\dfrac{15}{2}} \right.$

Dấu $" = "$ xảy ra khi $\left. 40 - 4x = x\Leftrightarrow x = 8 \right.$.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.