Cho hàm số $y = |x|^{3} - mx + 5$, $m$ là tham số. Hỏi hàm số đã cho có nhiều nhất bao nhiêu điểm

Câu hỏi số 816468:

Vận dụng

Cho hàm số $y = |x|^{3} - mx + 5$, $m$ là tham số. Hỏi hàm số đã cho có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị.

Đáp án:

Đáp án đúng là: 1

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:816468

Phương pháp giải

Công thức:

- Hàm số $y = f(x)$ đạt cực trị tại các điểm $x_{0}$ mà tại đó đạo hàm $f'(x_{0}) = 0$ hoặc không xác định, đồng thời $f'(x)$ đổi dấu khi đi qua $x_{0}$.

Phương pháp giải:

1. Viết lại hàm số $\left. y = \middle| x \middle| {}_{3} - mx + 5 \right.$ và tính đạo hàm $y'$(x\text{é}tc\text{á}ctru?ngh?p$x > 0$, $x < 0$ và tại $x = 0$).

2. Xét các trường hợp của tham số m ($m = 0$, $m > 0$, $m < 0$).

3. Trong mỗi trường hợp, tìm số nghiệm của phương trình $y' = 0$ và xét sự đổi dấu của đạo hàm để kết luận số điểm cực trị.

Giải chi tiết

Ta có: $y = \sqrt{x^{6}} - mx + 5$

Suy ra: $y' = \dfrac{3x^{5}}{|x|^{3}} - m = \dfrac{3x^{5} - m|x|^{3}}{|x|^{3}}$ và hàm số không có đạo hàm tại $x = 0$.

TH1:$m = 0$. Ta có: $y' = \dfrac{5x^{5}}{|x|^{3}} = 0$ vô nghiệm và hàm số không có đạo hàm tại $x = 0$.

Do đó hàm số có đúng một cực trị.

TH2:$m > 0$. Ta có: $\left. y' = 0\Leftrightarrow 3x^{5} = m|x|^{3}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x > 0} \\ {3x^{5} = mx^{3}} \end{array} \right.\Leftrightarrow x = \sqrt{\dfrac{m}{3}} \right.$

Bảng biến thiên:

Do đó hàm số có đúng một cực trị.

TH3:$m < 0$. Ta có: $\left. y' = 0\Leftrightarrow 3x^{5} = m|x|^{3}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x < 0} \\ {3x^{5} = - mx^{3}} \end{array} \right.\Leftrightarrow x = - \sqrt{- \dfrac{m}{3}} \right.$

Do đó hàm số có đúng một cực trị.

Vậy trong mọi trường hợp hàm số có đúng một cực trị với mọi tham số $m$

Chú ý: Thay vì trường hợp $2$ ta xét $m > 0$, ta có thể chọn $m$ là một số dương (như $m = 3$) để làm. Tương tự ở trường hợp $3$, ta chọn $m = - 3$ để làm sẽ cho lời giải nhanh hơn.

Đáp án cần điền là: 1

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.