Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho điểm $A\left( {a;0;0} \right),\ B\left( {0;b;0} \right),\

Câu hỏi số 816473:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho điểm $A\left( {a;0;0} \right),\ B\left( {0;b;0} \right),\ C\left( {0;0;c} \right),$ trong đó $a > 0$, $b > 0$, $c > 0$ và $\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c} = 7.$ Biết mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S):\left( {x - 1} \right)^{2} + \left( {y - 2} \right)^{2} + \left( {z - 3} \right)^{2} = \dfrac{72}{7}.$ Thể tích của khối tứ diện $OABC$ là (để kết quả dưới dạng phân số)

Đáp án:

Đáp án đúng là: 2/9

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:816473

Phương pháp giải

Công thức:

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1$.

Khoảng cách từ điểm $I(x_{0},y_{0},z_{0})$ đến mặt phẳng $Ax + By + Cz + D = 0$: $d = \dfrac{\left| Ax_{0} + By_{0} + Cz_{0} + D \right|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$.

Thể tích tứ diện OABC: $\left. V = \dfrac{1}{6} \middle| abc \right|$.

1. Viết phương trình mặt phẳng $(ABC)$ theo dạng đoạn chắn.

2. Sử dụng điều kiện mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu: $d(I,(ABC)) = R$.

3. Kết hợp điều kiện trên với giả thiết của bài toán để suy ra phương trình cụ thể của mặt phẳng $(ABC)$, từ đó tìm được $a, b, c$.

4. Tính thể tích tứ diện $V$ bằng công thức.

Giải chi tiết

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I\left( {1;2;3} \right)$ và bán kính $R = \sqrt{\dfrac{72}{7}}.$

Phương trình mặt phẳng $(ABC):\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1$.

Ta có: $\left. \dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c} = 7\Leftrightarrow\dfrac{\dfrac{1}{7}}{a} + \dfrac{\dfrac{2}{7}}{b} + \dfrac{\dfrac{3}{7}}{c} = 1 \right.$ nên $M\left( {\dfrac{1}{7};\dfrac{2}{7};\dfrac{3}{7}} \right) \in \left( {ABC} \right)$

Thay tọa độ $M\left( {\dfrac{1}{7};\dfrac{2}{7};\dfrac{3}{7}} \right)$ vào phương trình mặt cầu $(S)$ ta thấy đúng nên $M \in (S)$.

Suy ra: $(ABC)$ tiếp xúc với $(S)$ thì $M$ là tiếp điểm.

Do đó: $(ABC)$ qua $M\left( {\dfrac{1}{7};\dfrac{2}{7};\dfrac{3}{7}} \right)$, có VTPT là $\left. \overset{\rightarrow}{MI} = \left( {\dfrac{6}{7};\dfrac{12}{7};\dfrac{18}{7}} \right)\rightarrow\overset{\rightarrow}{n} = \left( {1;2;3} \right) \right.$

$(ABC)$ có phương trình: $\left. x + 2y + 3z - 2 = 0\Leftrightarrow\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{1} + \dfrac{z}{\dfrac{2}{3}} = 1\Rightarrow a = 2 \right.$, $b = 1$, $c = \dfrac{2}{3}$.

Vậy $V = \dfrac{1}{6}abc = \dfrac{2}{9}$

Đáp án cần điền là: 2/9

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.