Tìm giá trị của tham số $m$ để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt

Câu hỏi số 816475:

Vận dụng

Tìm giá trị của tham số $m$ để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng: $x^{3} - 3mx^{2} + 2m\left( {m - 4} \right)x + 9m^{2} - m = 0$.

Đáp án:

Đáp án đúng là: 1

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:816475

Phương pháp giải

Công thức:

- Định lý Vi-ét (bậc ba): $x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \dfrac{b}{a}$.

- Tính chất cấp số cộng: $x_{1} + x_{3} = 2x_{2}$.

1. Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

2. Sử dụng định lý Vi-ét và tính chất cấp số cộng để tìm ra một nghiệm của phương trình theo tham số $m$.

3. Thay nghiệm đó vào phương trình ban đầu để tìm các giá trị của $m$.

4. Kiểm tra lại các giá trị $m$ để đảm bảo phương trình có ba nghiệm phân biệt.

Giải chi tiết

- Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt $x_{1},\, x_{2},\, x_{3}$ lập thành một cấp số cộng. Theo định lý Vi-ét đối với phương trình bậc ba, ta có $x_{1} + \, x_{2} + \, x_{3} = 3m$. Vì $x_{1},\, x_{2},\, x_{3}$ lập thành cấp số cộng nên $x_{1} + x_{3} = 2x_{2}$. Suy ra $\left. 3x_{2} = 3m\Leftrightarrow x_{2} = m \right.$. Thay $x_{2} = m$ vào phương trình đã cho, ta được

$\left. m^{3} - 3m.m^{2} + 2m\left( {m - 4} \right).m + 9m^{2} - m = 0\Leftrightarrow m^{2} - m = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {m = 0} \\ {m = 1} \end{array} \right. \right.$

- Điều kiện đủ:

+ Với $m = 0$ thì ta có phương trình $\left. x^{3} = 0\Leftrightarrow x = 0 \right.$ (phương trình có nghiệm duy nhất). Do đó $m = 0$ không phải giá trị cần tìm.

+ Với $m = 1$, ta có phương trình $\left. x^{3} - 3x^{2} - 6x + 8 = 0\Leftrightarrow x = 1;\,\, x = - 2;\,\, x = 4. \right.$

Ba nghiệm $- 2;\,\, 1;\,\, 4$ lập thành một cấp số cộng nên $m = 1$ là giá trị cần tìm.

Đáp án cần điền là: 1

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.