Tính $\lim\limits_{x\rightarrow + \infty}\dfrac{3x - 5\sin 2x + \cos^{2}x}{x^{2} + 2}$

Câu hỏi số 816476:

Thông hiểu

Đáp án:

Đáp án đúng là: 0

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:816476

Phương pháp giải

Công thức:

- Định lý kẹp: Nếu $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ và $\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x) = \lim\limits_{x\rightarrow a}h(x) = L$ thì $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x) = L$.

Phương pháp giải:

1. Chia cả tử và mẫu của phân thức cho $x^{2}$.

2. Tách giới hạn thành tổng các giới hạn thành phần.

3. Sử dụng định lý kẹp và tính chất bị chặn của hàm sin, cos để chứng minh giới hạn của các thành phần chứa chúng bằng 0.

Giải chi tiết

$\lim\limits_{x\rightarrow + \infty}\dfrac{3x - 5\sin 2x + \cos^{2}x}{x^{2} + 2} = \lim\limits_{x\rightarrow + \infty}\dfrac{3x}{x^{2} + 2} - \lim\limits_{x\rightarrow + \infty}\dfrac{5\sin 2x}{x^{2} + 2} + \lim\limits_{x\rightarrow + \infty}\dfrac{\cos^{2}x}{x^{2} + 2}$

$\underset{x\rightarrow + \infty}{A_{1} = \lim}\dfrac{3x}{x^{2} + 2} = \lim\limits_{x\rightarrow + \infty}\dfrac{\dfrac{3}{x}}{1 + \dfrac{2}{x^{2}}} = 0$

$\left. \lim\limits_{x\rightarrow + \infty}\dfrac{- 5}{x^{2} + 2} = 0 \leq A_{2} = \lim\limits_{x\rightarrow + \infty}\dfrac{5\sin 2x}{x^{2} + 2} \leq \lim\limits_{x\rightarrow + \infty}\dfrac{5}{x^{2} + 2} = 0\Rightarrow A_{2} = 0 \right.$

$\left. \lim\limits_{x\rightarrow + \infty}\dfrac{0}{x^{2} + 2} = 0 \leq A_{3} = \lim\limits_{x\rightarrow + \infty}\dfrac{\cos^{2}x}{x^{2} + 2} \leq \lim\limits_{x\rightarrow + \infty}\dfrac{1}{x^{2} + 2} = 0\Rightarrow A_{3} = 0 \right.$

Vậy$\lim\limits_{x\rightarrow + \infty}\dfrac{3x - 5\sin 2x + \cos^{2}x}{x^{2} + 2} = 0$.

Đáp án cần điền là: 0

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.