Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước là $a,\ b,\ c$. Dựng một hình

Câu hỏi số 816479:

Vận dụng cao

Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước là $a,\ b,\ c$. Dựng một hình lập phương có cạnh bằng tổng ba kích thước của hình hộp chữ nhật trên. Biết rằng thể tích hình lập phương luôn gấp 32 lần thể tích hình hộp chữ nhật. Gọi $S$ là tỉ số giữa diện tích toàn phần hình lập phương và diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật. Tìm giá trị lớn nhất $S_{\max}$ của $S.$

Đáp án:

Đáp án đúng là: 1/10

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:816479

Phương pháp giải

Công thức:

- $V_{hcn} = abc;S_{tp,hcn} = 2(ab + bc + ca)$.

- $V_{lp} = x^{3};S_{tp,lp} = 6x^{2}$.

1. Thiết lập các công thức tính thể tích và diện tích của hai khối hình.

2. Sử dụng giả thiết về tỉ lệ thể tích để tìm một phương trình liên hệ giữa các kích thước $a, b, c$.

3. Thiết lập biểu thức tỉ số diện tích $S$.

4. Tìm giá trị lớn nhất của $S$ bằng cách sử dụng các phép đặt ẩn phụ và bất đẳng thức hoặc khảo sát hàm số.

Giải chi tiết

Theo giả thiết ta có cạnh của hình lập phương bằng $a + b + c$.

Hình hộp chữ nhật có: $V = abc$ và $S_{\text{tp}} = 2\left( {ab + ac + bc} \right)$.

Hình lập phương có: $V' = \left( {a + b + c} \right)^{3}$ và $S'_{\text{tp}} = 6\left( {a + b + c} \right)^{2}$.

Suy ra $S = \dfrac{S_{1}}{S_{2}} = 3.\dfrac{\left( {a + b + c} \right)^{2}}{ab + bc + ca}$.

Ta có $\left. \left( {a + b + c} \right)^{3} = 32abc\Leftrightarrow\dfrac{\left( {a + b + c} \right)^{3}}{a^{3}} = 32\dfrac{bc}{a^{2}}\Leftrightarrow\left( {\dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{a} + 1} \right)^{3} = 32\left( {\dfrac{b}{a}.\dfrac{c}{a}} \right) \right.$.

Đặt $\left. \left\{ \begin{array}{l} {\dfrac{b}{a} = x} \\ {\dfrac{c}{a} = y} \end{array} \right.\Rightarrow\left( {x + y + 1} \right)^{3} = 32xy\Leftrightarrow xy = \dfrac{\left( {x + y + 1} \right)^{3}}{32}. \right.$

Khi đó $S = 3.\dfrac{\left( {x + y + 1} \right)^{2}}{x + y + xy} = 3.\dfrac{\left( {x + y + 1} \right)^{2}}{x + y + \dfrac{\left( {x + y + 1} \right)^{3}}{32}}\overset{t = x + y + 1 > 1}{\rightarrow}S = 96.\dfrac{t^{2}}{t^{3} + 32t - 32}.$

Ta có $\left( {x + y + 1} \right)^{3} = 32xy \leq 8\left( {x + y} \right)^{2}$

$\left. \Rightarrow t^{3} \leq 8\left( {t - 1} \right)^{2}\Leftrightarrow t^{3} - 8t^{2} + 16t - 8 \leq 0\Leftrightarrow 2 \leq t \leq 3 + \sqrt{5} \right.$.

Xét hàm $f(t) = \dfrac{t^{2}}{t^{3} + 32t - 32}$ trên đoạn $\left\lbrack {2;3 + \sqrt{5}} \right\rbrack$, ta được $\max\limits_{\lbrack{2;3 + \sqrt{5}}\rbrack}f(t) = f(4) = \dfrac{1}{10}.$

Đáp án cần điền là: 1/10

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.