Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Thi thử toàn quốc ĐGNL/ĐGTD Tháng 12 ngày 13-14/12
 ↪ ĐGNL Hà Nội HSA (Trạm 2) ↪ ĐGNL HCM V-ACT (Trạm 2) ↪ ĐGTD Bách Khoa TSA (Trạm 4) ↪ ĐGNL SP Hà Nội SPT (Trạm 1)
Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Cho hàm số $f(x) = x - \dfrac{1}{x} + 2\log x$.

Cho hàm số $f(x) = x - \dfrac{1}{x} + 2\log x$.

Trả lời cho các câu 1, 2, 3 dưới đây:

Câu hỏi số 1:
Nhận biết

  Đạo hàm của hàm số $f(x)$ là:

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải
Câu hỏi:816484
Phương pháp giải

Phương pháp là áp dụng các công thức đạo hàm cơ bản cho từng số hạng của hàm số:

$f(x) = x - \dfrac{1}{x} + 2\log x.$

- Đạo hàm của hàm lũy thừa: ${(x^{n})}' = nx^{n - 1}$.

- Đạo hàm của logarit thập phân: ${(\log x)}' = \dfrac{1}{x\ln 10}$.

- Đạo hàm của tổng/hiệu: $(u \pm v)' = u' \pm v'$.

Giải chi tiết

$f(x) = x - \dfrac{1}{x} + 2\log x$

Nên ĐKXĐ: $\left. \left\{ \begin{matrix} {x \neq 0} \\ {x > 0} \end{matrix} \right.\Rightarrow x > 0\Rightarrow D = \left( {0; + \infty} \right). \right.$

$\left. f(x) = x - \dfrac{1}{x} + 2\log x\Rightarrow f'(x) = 1 + \dfrac{1}{x^{2}} + 2.\dfrac{1}{x\ln 10}. \right.$

Đáp án cần chọn là: A

Câu hỏi số 2:
Thông hiểu

 Hàm số $y = f(x)$ luôn thoả mãn hệ thức nào sau đây, với mọi $x \in (0; + \infty)$.

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải
Câu hỏi:816485
Phương pháp giải

Phương pháp là thế trực tiếp và biến đổi đại số:

1. Thay thế mọi biến $x$ trong hàm số $f(x)$ bằng biểu thức $\dfrac{1}{x}$.

2. Sử dụng các phép toán cơ bản và tính chất của logarit, cụ thể là $\log\left( \dfrac{1}{a} \right) = - \log a$, để rút gọn biểu thức vừa thu được.

3. So sánh biểu thức đã rút gọn với hàm $f(x)$ ban đầu để tìm ra mối quan hệ.

Giải chi tiết

Với mọi $x \in (0; + \infty)$, ta có:

$f\left( \dfrac{1}{x} \right) = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{\dfrac{1}{x}} + 2\log\left( \dfrac{1}{x} \right) = \dfrac{1}{x} - x + 2\log\left( x^{- 1} \right) = \ - x + \dfrac{1}{x} - 2\log x = \ - f(x).$

Đáp án cần chọn là: B

Câu hỏi số 3:
Vận dụng

  Tổng các nghiệm thuộc đoạn $\lbrack 0;2\pi\rbrack$ của phương trình $f(\cos x + 3) + f\left( \dfrac{1}{\sin x + 3} \right) = 0$ bằng:

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải
Câu hỏi:816486
Phương pháp giải

Phương pháp giải là một quy trình gồm nhiều bước, kết hợp các kết quả từ những câu trước:

1. Sử dụng tính chất hàm số: Dùng mối quan hệ $f\left( \dfrac{1}{a} \right) = - f(a)$ đã tìm thấy ở Câu 49 để biến đổi phương trình về dạng $f(A) = f(B)$.

2. Xét tính đơn điệu: Chứng minh rằng hàm số $f(x)$ là hàm đồng biến (luôn tăng) bằng cách cho thấy đạo hàm $f'(x)$ luôn lớn hơn 0 trên tập xác định.

3. Rút gọn phương trình: Vì hàm số là đồng biến, dạng thức $f(A) = f(B)$ chỉ có thể xảy ra khi $A = B$. Từ đó, ta có một phương trình lượng giác đơn giản hơn nhiều.

4. Giải phương trình lượng giác: Tìm nghiệm của phương trình lượng giác thu được.

5. Tổng hợp kết quả: Xác định các nghiệm thoả mãn điều kiện của đề bài và tính tổng của chúng.

Giải chi tiết

Ta có

$\left. f(\cos x + 3) + f\left( \dfrac{1}{\sin x + 3} \right) = 0\Rightarrow f(\cos x + 3) = \ - f\left( \dfrac{1}{\sin x + 3} \right) \right.$

Mà $f\left( \dfrac{1}{x} \right) = \ - f(x)$, với mọi $x \in (0; + \infty)$.

$\left. \Rightarrow f\left( {\cos x + 3} \right) = f\left( {\sin x + 3} \right) \right.$. Lại có $f'(x) = 1 + \dfrac{1}{x^{2}}2.\dfrac{1}{x\ln 10} > 0\ \ \forall x \in \left( {0; + \infty} \right).$

Suy ra

 $\begin{array}{l} \left. \cos x + 3 = \sin x + 3\Rightarrow\cos x = \sin x \right. \\ \left. \Rightarrow\cos x - \sin x = 0\Rightarrow\sqrt{2}\sin\left( {x - \dfrac{\pi}{4}} \right) = 0 \right. \end{array}$

$\left. \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi \right.$ mà $\left. x \in \lbrack 0;2\pi\rbrack\Rightarrow x \in \left\{ {\dfrac{\pi}{4};\dfrac{5\pi}{4}} \right\} \right.$

Tổng các nghiệm thuộc đoạn $\lbrack 0;2\pi\rbrack$ của phương trình là: $\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{5\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{2}.$

Đáp án cần chọn là: A

Quảng cáo

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn