Từ điểm $M$ ở ngoài đường tròn $(O)$ kẻ hai tiếp tuyến $MA,MB\,\,(A,B$ là các tiếp điểm).

Câu hỏi số 817419:

Thông hiểu

Từ điểm $M$ ở ngoài đường tròn $(O)$ kẻ hai tiếp tuyến $MA,MB\,\,(A,B$ là các tiếp điểm). Biết $\angle AMB = 60^{0}$.

1) Tính số đo góc ở tâm $\angle AOB$.

2) Tính số đo cung nhỏ $AB$ và số đo cung lớn $AB$.

3) Kẻ đường kính $BC$ của đường tròn $(O),MC$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $D$ (khác $C$). Chứng minh rằng: $MA^{2} = MC.MD$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:817419

Phương pháp giải

1) Áp dụng định lí tổng 4 góc trong một tứ giác bằng $360^{0}$
Từ đó suy ra $\angle AOB = 120^{0}$

2) Ta có $\angle AOB$ là góc ở tâm chắn cung nhỏ $AB$ nên $sd\, cung\, AB = \angle AOB$
Do đó số đo cung lớn $AB$ là: $360^{0} - sd\, cung\, AB$

3) Chứng minh $\Delta MDB \backsim \Delta MBC$ (g.g)
Do đó: $MB^{2} = MC.MD$
Lại có $MA = MB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Vậy $MA^{2} = MC \cdot MD$

Giải chi tiết

1) Do $MA,MB$ là hai tiếp tuyến của $(O)$ tại $A,B$
Nên $\angle OAM = \angle OBM = 90^{0}$
Tứ giác $MAOB$ có $\angle OAM + \angle AMB + \angle OBM + \angle AOB = 360^{0}$
Suy ra $\angle AOB = 120^{0}$

2) Ta có $\angle AOB$ là góc ở tâm chắn cung nhỏ $AB$ nên $sd\, cung\, AB = \angle AOB = 120^{0}$
Do đó số đo cung lớn $AB$ là: $360^{0} - sd\, cung\, AB = 360^{0} - 120^{0} = 240^{0}$

3) $(O)$ có đường kính $BC$ nên $\angle BDC = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Khi đó $\angle MDB = 90^{0}$ (kề bù với $\angle BDC$)
Xét $\Delta MDB$ và $\Delta MBC$ có:
$\angle MDB = \angle MBC = 90^{0}$
$\angle BMC$ chung
Suy ra $\Delta MDB \backsim \Delta MBC$ (g.g)
Do đó: $\dfrac{MD}{MB} = \dfrac{MB}{MC}$ (cạnh tương ứng)
Nên $MB^{2} = MC.MD$
Lại có $MA = MB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Vậy $MA^{2} = MC \cdot MD$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link