Từ điểm $M$ ở ngoài đường tròn $(O)$ kẻ hai tiếp tuyến $MA,MB\,\,(A,B$ là các tiếp điểm).

Câu hỏi số 817419:

Thông hiểu

Từ điểm $M$ ở ngoài đường tròn $(O)$ kẻ hai tiếp tuyến $MA,MB\,\,(A,B$ là các tiếp điểm). Biết $\angle AMB = 60^{0}$.

1) Tính số đo góc ở tâm $\angle AOB$.

2) Tính số đo cung nhỏ $AB$ và số đo cung lớn $AB$.

3) Kẻ đường kính $BC$ của đường tròn $(O),MC$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $D$ (khác $C$). Chứng minh rằng: $MA^{2} = MC.MD$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:817419

Phương pháp giải

1) Áp dụng định lí tổng 4 góc trong một tứ giác bằng $360^{0}$
Từ đó suy ra $\angle AOB = 120^{0}$

2) Ta có $\angle AOB$ là góc ở tâm chắn cung nhỏ $AB$ nên $sd\, cung\, AB = \angle AOB$
Do đó số đo cung lớn $AB$ là: $360^{0} - sd\, cung\, AB$

3) Chứng minh $\Delta MDB \backsim \Delta MBC$ (g.g)
Do đó: $MB^{2} = MC.MD$
Lại có $MA = MB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Vậy $MA^{2} = MC \cdot MD$

Giải chi tiết

1) Do $MA,MB$ là hai tiếp tuyến của $(O)$ tại $A,B$
Nên $\angle OAM = \angle OBM = 90^{0}$
Tứ giác $MAOB$ có $\angle OAM + \angle AMB + \angle OBM + \angle AOB = 360^{0}$
Suy ra $\angle AOB = 120^{0}$

2) Ta có $\angle AOB$ là góc ở tâm chắn cung nhỏ $AB$ nên $sd\, cung\, AB = \angle AOB = 120^{0}$
Do đó số đo cung lớn $AB$ là: $360^{0} - sd\, cung\, AB = 360^{0} - 120^{0} = 240^{0}$

3) $(O)$ có đường kính $BC$ nên $\angle BDC = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Khi đó $\angle MDB = 90^{0}$ (kề bù với $\angle BDC$)
Xét $\Delta MDB$ và $\Delta MBC$ có:
$\angle MDB = \angle MBC = 90^{0}$
$\angle BMC$ chung
Suy ra $\Delta MDB \backsim \Delta MBC$ (g.g)
Do đó: $\dfrac{MD}{MB} = \dfrac{MB}{MC}$ (cạnh tương ứng)
Nên $MB^{2} = MC.MD$
Lại có $MA = MB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Vậy $MA^{2} = MC \cdot MD$

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link