1) Một chiếc quạt giấy khi mở hết mức ra có góc ở tâm là $150^{0}$, bán kính chiếc quạt 30 cm

Câu hỏi số 817420:

Vận dụng

1) Một chiếc quạt giấy khi mở hết mức ra có góc ở tâm là $150^{0}$, bán kính chiếc quạt 30 cm và bán kính phần nan quạt không dán giấy là 5 cm. Giả sử khi dán giấy làm quạt, người ta phải dán đủ hai mặt và phải dư thêm $10\rm{\%}$ diện tích giấy để dán các mép và làm quạt đẹp hơn, hãy tính diện tích giấy cần thiết để dán quạt nói trên (Lấy $\pi \approx 3,14$ và kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

2) Cho $a,b,c$ là các số thực dương và thỏa mãn $a + b + c = 3$.

Chứng minh rằng: $\dfrac{a}{1 + b^{2}} + \dfrac{b}{1 + c^{2}} + \dfrac{c}{1 + a^{2}} \geq \dfrac{3}{2}.$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:817420

Phương pháp giải

1) Áp dụng công thức tính diện tích hình quạt bán kính $R_{1} = 30~cm$, diện tích hình quạt bán kính $R_{2} = 5~cm$ là: $S = \dfrac{\pi R^{2}n}{360}$

Từ đó tính diện tích cần dán giấy hai mặt là: $S_{3} = 2\left( {S_{1} - S_{2}} \right)$

Diện tích giấy cần dùng (kể cả phần dư $10\rm{\%}$) là: $S = S_{3} + 10\rm{\%}S_{3}$

2) Ta có: $\dfrac{a}{1 + b^{2}} = a \cdot \left( {1 - \dfrac{b^{2}}{1 + b^{2}}} \right) \geq a\left( {1 - \dfrac{b}{2}} \right) = a - \dfrac{ab}{2}$.
Tương tự ta được: $\dfrac{b}{1 + c^{2}} \geq b - \dfrac{bc}{2},\dfrac{c}{1 + a^{2}} \geq c - \dfrac{ca}{2}$.
Cộng vế với vế, ta có: $\dfrac{a}{1 + b^{2}} + \dfrac{b}{1 + c^{2}} + \dfrac{c}{1 + a^{2}} \geq \dfrac{3}{2}.$

Dấu đẳng thức xảy ra khi $a = b = c = 1$

Giải chi tiết

1) Diện tích hình quạt bán kính $R_{1} = 30~cm$ là: $S_{1} = \dfrac{\pi \cdot 30^{2} \cdot 150}{360} = 375\pi\,\,(cm^{2})$

Diện tích hình quạt bán kính $R_{2} = 5~cm$ là: $S_{2} = \dfrac{\pi \cdot 5^{2} \cdot 150}{360} = \dfrac{125\pi}{12}\,\,(cm^{2})$

Diện tích cần dán giấy hai mặt là: $S_{3} = 2\left( {S_{1} - S_{2}} \right) = 2\left( {375\pi - \dfrac{125\pi}{12}} \right) = \dfrac{4375\pi}{6}\,\,(cm^{2})$

Diện tích giấy cần dùng (kể cả phần dư $10\rm{\%}$) là:

2) Ta có: $\dfrac{a}{1 + b^{2}} = a \cdot \dfrac{1}{1 + b^{2}} = a \cdot \left( {1 - \dfrac{b^{2}}{1 + b^{2}}} \right) \geq a\left( {1 - \dfrac{b}{2}} \right) = a - \dfrac{ab}{2}$.
Tương tự ta được: $\dfrac{b}{1 + c^{2}} \geq b - \dfrac{bc}{2},\dfrac{c}{1 + a^{2}} \geq c - \dfrac{ca}{2}$.
Cộng vế với vế, ta có:

Vì $ab + bc + ca \leq \dfrac{1}{3}{(a + b + c)}^{2} = 3$ nên $\left( {a + b + c} \right) - \dfrac{ab + bc + ca}{2} \geq 3 - \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{2}$
Dấu đẳng thức xảy ra khi $a = b = c = 1$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link