Cho $\text{sin}\alpha + \text{cos}\alpha = m$. Có bao nhiêu giá trị của tham số $m$ để $\text{sin}2\alpha =

Câu hỏi số 817843:

Vận dụng

Cho $\text{sin}\alpha + \text{cos}\alpha = m$. Có bao nhiêu giá trị của tham số $m$ để $\text{sin}2\alpha = - \dfrac{3}{4}$.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:817843

Phương pháp giải

Biến đổi $\text{sin}\alpha + \text{cos}\alpha = \sqrt{2}\text{sin}\left( {\alpha + \dfrac{\pi}{4}} \right)$ kết hợp với $\sin x \in \left\lbrack {- 1;1} \right\rbrack$ tìm tập giá trị m

Tính $\sin 2\alpha$ từ $\text{sin}2\alpha = {(\text{sin}\alpha + \text{cos}\alpha)}^{2} - 1$ kết hợp với điều kiện m ở trên và kết luận.

Giải chi tiết

Ta có $\text{sin}\alpha + \text{cos}\alpha = \sqrt{2}\left( {\dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{sin}\alpha + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{cos}\alpha} \right) = \sqrt{2}\text{sin}\left( {\alpha + \dfrac{\pi}{4}} \right)$.

Vì $- 1 \leq \text{sin}\left( {\alpha + \dfrac{\pi}{4}} \right) \leq 1$ nên $- \sqrt{2} \leq \text{sin}\alpha + \text{cos}\alpha \leq \sqrt{2}$. Suy ra $- \sqrt{2} \leq m \leq \sqrt{2}$.

Ta lại có ${(\text{sin}\alpha + \text{cos}\alpha)}^{2} = \text{sin}^{2}\alpha + 2\text{sin}\alpha\text{cos}\alpha + \text{cos}^{2}\alpha = 1 + \text{sin}2\alpha$.

Suy ra $\text{sin}2\alpha = {(\text{sin}\alpha + \text{cos}\alpha)}^{2} - 1 = m^{2} - 1$.

Khi đó, $\text{sin}2\alpha = - \dfrac{3}{4}$ hay $m^{2} - 1 = - \dfrac{3}{4}$ suy ra $m = \dfrac{1}{2}$ hoặc $m = - \dfrac{1}{2}$ (thoả mãn điều kiện).

Đáp án cần điền là: 2

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.