Biết rằng tập giá trị của hàm số $y = \text{sin}^{6}x + \text{cos}^{6}x$ là $T = \left\lbrack {a;b}

Câu hỏi số 817880:

Vận dụng

Biết rằng tập giá trị của hàm số $y = \text{sin}^{6}x + \text{cos}^{6}x$ là $T = \left\lbrack {a;b} \right\rbrack$. Tính giá trị biểu thức $P = 4a + b$

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:817880

Phương pháp giải

Biến đổi từ hằng đẳng thức $x^{6} + y^{6} = \left( {x^{2} + y^{2}} \right)^{3} - 3x^{2}y^{2}\left( {x^{2} + y^{2}} \right)$ với $\text{sin}^{2}x + \text{cos}^{2}x = 1$ đưa hàm số về hàm số chỉ chứa $\sin 2x$. Đánh giá $0 \leq \text{sin}^{2}2x \leq 1$ tìm tập giá trị của hàm số.

Giải chi tiết

Hàm số có tập xác định $D = {\mathbb{R}}$.

Ta có: $y = \text{sin}^{6}x + \text{cos}^{6}x = \left( {\text{sin}^{2}x + \text{cos}^{2}x} \right)^{3} - 3\text{sin}^{2}x\text{cos}^{2}x\left( {\text{sin}^{2}x + \text{cos}^{2}x} \right) = 1 - \dfrac{3}{4}\text{sin}^{2}2x$.

Do $\left. 0 \leq \text{sin}^{2}2x \leq 1\Leftrightarrow 0 \geq - \dfrac{3}{4}\text{sin}^{2}2x \geq - \dfrac{3}{4}\Leftrightarrow 1 \geq 1 - \dfrac{3}{4}\text{sin}^{2}2x \geq \dfrac{1}{4}\Leftrightarrow 1 \geq y \geq \dfrac{1}{4} \right.$.

Vậy giá trị của hàm số là $T = \left\lbrack {\dfrac{1}{4};1} \right\rbrack$ nên $\left. \left\{ \begin{array}{l} {a = \dfrac{1}{4}} \\ {b = 1} \end{array} \right.\Rightarrow P = 4a + b = 4 \cdot \dfrac{1}{4} + 1 = 2 \right.$.

Đáp án cần điền là: 2

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.