Biết rằng tập giá trị của hàm số $y = \dfrac{2\text{sin}x + \text{cos}x}{\text{sin}x + 2\text{cos}x + 4}$

Câu hỏi số 817906:

Vận dụng

Biết rằng tập giá trị của hàm số $y = \dfrac{2\text{sin}x + \text{cos}x}{\text{sin}x + 2\text{cos}x + 4}$ là $T = \left\lbrack {a;b} \right\rbrack$. Tính giá trị biểu thức $P = 11\left( {a + b} \right)$ ?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:817906

Phương pháp giải

Coi y là tham số và biến đổi phương trình về dạng $a\sin x + b\cos x = c$ có nghiệm khi $a^{2} + b^{2} \geq c^{2}$ từ đó tìm tập giá trị của y.

Giải chi tiết

Tập xác định hàm số $D = {\mathbb{R}}$.

Ta có: $\left. y = \dfrac{2\text{sin}x + \text{cos}x}{\text{sin}x + 2\text{cos}x + 4}\Leftrightarrow y\left( {\text{sin}x + 2\text{cos}x + 4} \right) = 2\text{sin}x + \text{cos}x \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left( {y - 2} \right)\text{sin}x + \left( {2y - 1} \right)\text{cos}x = - 4y \right.$.

Điều kiện để tồn tại cặp $\left( {x;y} \right)$ là ${(y - 2)}^{2} + {(2y - 1)}^{2} \geq {( - 4y)}^{2}$

$\left. \Leftrightarrow - 11y^{2} - 8y + 5 \geq 0\Leftrightarrow\dfrac{- 4 - \sqrt{71}}{11} \leq y \leq \dfrac{- 4 + \sqrt{71}}{11} \right.$.

Vậy miền giá trị hàm số là $T = \left\lbrack {\dfrac{- 4 - \sqrt{71}}{11};\dfrac{- 4 + \sqrt{71}}{11}} \right\rbrack$ nên $P = 11\left( {a + b} \right) = - 8$

Đáp án cần điền là: -8

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.