Một người ngồi trên đu quay có đường kính 115 m, quan sát hai đỉnh tháp $B,\, C$ cách nhau một

Câu hỏi số 819486:

Vận dụng

Một người ngồi trên đu quay có đường kính 115 m, quan sát hai đỉnh tháp $B,\, C$ cách nhau một khoảng $BC = 345$ m (minh họa như hình dưới). Biết rằng tâm $O$ của đu quay là trung điểm của đoạn thẳng $BC$. Tính khoảng cách từ vị trí người ngồi trên đu quay đến đỉnh tháp $B$ khi góc quan sát từ vị trí người đó đến hai đỉnh tháp (góc $\widehat{BAC}$) là nhỏ nhất (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:819486

Phương pháp giải

Áp dụng định lý côsin trong $\bigtriangleup OAB$ và $\bigtriangleup OAC$ :

$AB = \sqrt{OA^{2} + OB^{2} - 2OA.OB\cos\alpha},\quad AC = \sqrt{OA^{2} + OC^{2} + 2OA.OC\cos\alpha}$

Dùng định lí cos cho $\angle BAC$: $\cos\angle BAC = \dfrac{AB^{2} + AC^{2} - BC^{2}}{2AB \cdot AC}$

Muốn $\angle BAC$ nhỏ nhất ta cần $\cos\angle BAC$ lớn nhất, tính $\alpha$.

Thay giá trị $\alpha$ trở lại công thức $AB = \sqrt{OA^{2} + OB^{2} - 2OA.OB\cos\alpha}$ để tính khoảng cách AB.

Giải chi tiết

Có $OB = OC = 172,5$ m, $OA = 57,5$ m. Suy ra $OB = OC = 3OA$.

Đặt $OA = a$ và $\widehat{AOB} = \alpha$. Ta có $OB = OC = 3a,\ BC = 6a$.

Áp dụng định lý côsin trong các tam giác $OAB$ và $OAC$, ta có

$AB = \sqrt{a^{2} + 9a^{2} - 2.a.3a.\cos\alpha} = a\sqrt{10 - 6\cos\alpha}$;

$AC = \sqrt{a^{2} + 9a^{2} - 2.a.3a.\cos(180{^\circ} - \alpha)} = a\sqrt{10 + 6\cos\alpha}.$

Từ đó $\cos\widehat{BAC} = \dfrac{10 - 6\cos\alpha + 10 + 6\cos\alpha - 36}{2\sqrt{\left( {10 - 6\cos\alpha} \right)\left( {10 + 6\cos\alpha} \right)}} = \dfrac{- 8}{\sqrt{100 - 36\cos^{2}\alpha}}$.

Do $\cos^{2}\alpha \geq 0$ nên $\sqrt{100 - 36\cos^{2}\alpha} \leq 10$, suy ra $\cos\widehat{BAC} \leq \dfrac{- 8}{10} = \dfrac{- 4}{5}$.

Khi đó $\widehat{BAC} \geq 143,13{^\circ}$. Vậy góc quan sát nhỏ nhất là $143,13{^\circ}$.

Khi đó $AB = a\sqrt{10} \approx 182$ m.

Đáp án cần điền là: 182

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.