Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$. Đồ thị hàm số \(y

Câu hỏi số 824504:

Vận dụng

$f(0)$ $f(-1)$ 1 -1 0

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$.

Đồ thị hàm số $y = {f^\prime }(x)$ như hình vẽ. Để bất phương trình $m - {x^2} \le 2f(x + 2) + 4x + 3$ nghiệm đúng với mọi $x \in ( - 3; + \infty )$ thì $m \le$ 2. +

Đáp án đúng là: $f(0)$; -1

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:824504

Phương pháp giải

Ta có $m - {x^2} \le 2f(x + 2) + 4x + 3 \Leftrightarrow m \le 2f(x + 2) + {x^2} + 4x + 3$.

Yêu cầu bài toán $m \le \min g(x)$ với $g(x) = 2f(x + 2) + {x^2} + 4x + 3$.

Giải chi tiết

Ta có $m - {x^2} \le 2f(x + 2) + 4x + 3 \Leftrightarrow m \le 2f(x + 2) + {x^2} + 4x + 3$.

Yêu cầu bài toán $m \le \min g(x)$ với $g(x) = 2f(x + 2) + {x^2} + 4x + 3$.

Ta có $g'(x) = 2f'(x + 2) + 2x + 4 = 2[f(t) - ( - t)](t = x + 2)$

$g'(x) = 0 \Leftrightarrow {f^\prime }(x + 2) = - (x + 2)$

Đặt $t = x + 2$ ta được $f'(t) = - t$.

Nghiệm của phương trình (1) chính là hoành độ giao điểm của đường thẳng $y = - t$ và đồ thị hàm số ${f^\prime }(t)$

Ta có ${g^\prime }(x) > 0$ khi đồ thị ${f^\prime }(t)$ nằm trên đường thẳng $y = - t;{g^\prime }(x) < 0$ khi đồ thị ${f^\prime }(t)$ nằm dưới đường thẳng $y = - t$.

Chi cần xét khoảng ${g^\prime }(x) > 0$ khoảng còn lại mặc nhiên sẽ làm cho ${g^\prime }(x) < 0$

${g^\prime }(x) > 0 \Leftrightarrow {f^\prime }(t) > - t \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t < - 1}\\{t > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2 < - 1}\\{x + 2 > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x < - 3}\\{x > - 2}\end{array}} \right.} \right.} \right.$

Từ đó ta có bảng biến thiên nghiệm bội chẵn tức điểm tiếp xúc không tham gia vào quá trình xét dấu

$\begin{array}{l}\min g(x) = g( - 2) = 2f(0) - 1\\ \Rightarrow m \le 2f(0) - 1\forall x \in ( - 3; + \infty )\\ \Rightarrow m \le 2f(0) - 1\end{array}$

Đáp án cần chọn là: $f(0)$; -1

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.