Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $A B C$ có $A(1 ; 2 ; 2), B(-2 ; 1 ;-3), C(1 ; 0 ;-5)$.

Câu hỏi số 825515:

Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $A B C$ có $A(1 ; 2 ; 2), B(-2 ; 1 ;-3), C(1 ; 0 ;-5)$. Chọn các khẳng định đúng

$\cos (\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{B C})=\dfrac{\sqrt{10}}{35}$.

Gọi $D$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $A B C D$. Khi đó điểm $D(0 ; 3 ;-6)$.

Tọa độ trọng tâm của tam giác $ABC$ là $G(0 ; 1 ;-2)$.

Gọi $M(a ; b ; c)$ là điểm thuộc mặt phẳng $(O x z)$, sao cho $|\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị của biểu thức $T=a+b-c+2024$ bằng 2025 .

Đáp án đúng là: A; C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:825515

Phương pháp giải

a) $\cos (\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{B C})=\dfrac{\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{BC}|}$

b) Sử dụng $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ tìm toạ độ D

c) Công thức toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC là $G\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3}, \frac{y_A+y_B+y_C}{3}, \frac{z_A+z_B+z_C}{3}\right)$

d) Chứng minh $|\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}|$ nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $G$ lên mặt phẳng $(O x z)$.

Giải chi tiết

a) Đúng: Ta có $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{A B}=(-3 ;-1 ;-5) \\ \overrightarrow{B C}=(3 ;-1 ;-2)\end{array}\right.$

$\Rightarrow \cos (\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{B C})=\dfrac{\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{BC}|}=\dfrac{2}{\sqrt{35} \cdot \sqrt{14}}=\dfrac{\sqrt{10}}{35}$

b) Sai: Hình bình hành $ABCD$ nên

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=(-3 ;-1 ;-5) \Rightarrow D(4 ; 1 ; 0)$.

c) Đúng: Tọa độ trọng tâm của tam giác $ABC$ là $G\left(\dfrac{1-2+1}{3} ; \dfrac{2+1+0}{3} ; \dfrac{2-3-5}{3}\right)$

$\Rightarrow G(0 ; 1 ;-2)$.

d) Sai: Ta có

$|\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}|=|3 \overrightarrow{M G}|=3 M G$

Do đó $|\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}|$ nhỏ nhất khi $M G$ nhỏ nhất.

$M$ thuộc mặt phẳng $(O x z)$ nên $M$ là hình chiếu vuông góc của $G$ lên mặt phẳng $(O x z)$.

Suy ra $M(0 ; 0 ;-2)$

Vậy $a+b-c+2024=0+0-(-2)+2024=2026$.

Đáp án cần chọn là: A; C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.