Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O. Vẽ đường kính AD của

Câu hỏi số 827871:

Vận dụng

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O. Vẽ đường kính AD của đường tròn (O) và đường cao AH của tam giác ABC.

a) Chứng minh $\angle ACD = 90^{0}$ và $AB \cdot AC = AH \cdot AD$.

b) Vẽ $CF\bot AD$, chứng minh rằng $AC^{2} = AF \cdot AD$ và $\angle CHF = \angle DCF$.

c) Vẽ $BK\bot AC$, BK cắt AH tại I. Giả sử $\angle BAC = 60^{0}$, $BC = 10{\mkern 1mu} {\rm{cm}}$, tính độ dài AI.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:827871

Phương pháp giải

a) $\angle ACD$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn.

Chứng minh $\Delta ABH \sim \Delta ADC\left( {g.g} \right)$

Khi đó $AB.AC = AH.AD$

b) Chứng minh $\Delta AFC \sim \Delta ACD\left( {g.g} \right)$ nên $AF.AD = AC^{2}$

Chứng minh A, F, C, H cùng thuộc đường tròn đường kính AC

Suy ra $\angle CHF = \angle CAF$ (góc nội tiếp cùng chắn cùng CF) (1)

Chứng minh $\angle CAF = \angle FCD$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\angle CHF = \angle FCD$

c) Chứng minh BICD là hình bình hành

Gọi M là giao điểm của DI và BC. Khi đó M là trung điểm của BC và DI (tính chất hình bình hành)

Chứng minh OM là đường trung bình của $\Delta DAI$

Suy ra $OM = \dfrac{1}{2}AI$ hay $AI = 2OM$

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong $\Delta BOM$ vuông tại M để tính OM.

Giải chi tiết

a) Vì $\angle ACD$ chắn nửa đường tròn nên $\angle ACD = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét $\Delta ABH$ và $\Delta ADC$ có

$\angle AHB = \angle ACD\left( {= 90^{0}} \right)$

$\angle ABH = \angle ADC$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Suy ra $\Delta ABH \sim \Delta ADC\left( {g.g} \right)$

Khi đó $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AH}{AC}$ hay $AB.AC = AH.AD$

b) Xét $\Delta AFC$ và $\Delta ACD$ có

$\angle CAD$ chung

$\angle AFC = \angle ACD\left( {= 90^{0}} \right)$

Suy ra $\Delta AFC \sim \Delta ACD\left( {g.g} \right)$ nên $\dfrac{AF}{AC} = \dfrac{AC}{AD}$ hay $AF.AD = AC^{2}$

Ta có $\Delta AFC$ vuông tại F nên A, F, C cùng thuộc đường tròn đường kính AC

$\Delta AHC$ vuông tại H nên A, H, C cùng thuộc đường tròn đường kính AC

Suy ra A, F, C, H cùng thuộc đường tròn đường kính AC

Suy ra $\angle CHF = \angle CAF$ (góc nội tiếp cùng chắn cùng CF) (1)

Ta có $\angle CAF + \angle ACF = 90^{0}$ (Do $\Delta AFC$ vuông tại F) và $\angle FCD + \angle ACF = 90^{0}$

Suy ra $\angle CAF = \angle FCD$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\angle CHF = \angle FCD$

c) Vì $\Delta ABC$có BK, AH là đường cao cắt nhau tại I nên I là trực tâm của $\Delta ABC$

Khi đó $CI\bot AB$. Mà $BD\bot AB$ (do $\angle ABD$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên $CI \parallel BD$

Lại có $BI \parallel CD$ (do cùng vuông góc với AC)

Suy ra BICD là hình bình hành

Gọi M là giao điểm của DI và BC. Khi đó M là trung điểm của BC và DI (tính chất hình bình hành)

Xét $\Delta DAI$ có O là trung điểm của AD và M là trung điểm của DI nên OM là đường trung bình của $\Delta DAI$

Suy ra $OM = \dfrac{1}{2}AI$ hay $AI = 2OM$

Ta có $\angle BOC = 2\angle BAC = 2.60^{0} = 120^{0}$ (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung BC)

Ta có $\Delta OBC$ cân tại O có OM là trung tuyến nên OM đồng thời là phân giác của $\angle BOC$ và cũng là đường cao của $\Delta OBC$.

Khi đó $\angle BOM = \dfrac{1}{2}\angle BOC = 60^{0}$

Xét $\Delta BOM$ vuông tại M có

$OM = BM.\cot MOB = \dfrac{1}{2}BC.\cot MOB = \dfrac{1}{2}.10.\cot 60^{0} = \dfrac{5\sqrt{3}}{3}$ cm

Vậy $AI = 2.OM = \dfrac{10\sqrt{3}}{3}$ cm

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link