Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.Biết $f(x)$ là hàm số bậc

Câu hỏi số 828771:

Vận dụng

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.

Biết $f(x)$ là hàm số bậc bốn, số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $g(x) = \dfrac{x^{2}}{f^{2}(x) + 3f(x)}$ là

A. $6$.

B. $3$.

C. $5$.

D. $4$.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:828771

Phương pháp giải

Để xác định tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$, ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Tìm TXĐ của $f(x)$.

Bước 2: Tìm những điểm $x_{0}$ mà hàm số không xác định nhưng có lân cận trái hoặc lân cận phải nằm trong tập xác định.

Bước 3: Tính các giới hạn một bên của hàm số tại điểm $x_{0}$:$\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}{}^{+}}f(x)\,,\,\,\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}{}^{+}}f(x),\,\,\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}{}^{-}}f(x)\,\,,\,\,\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}{}^{-}}f(x).$

Bước 4: Kết luận.

Để xác định tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f(x)$, ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Tìm TXĐ của $f(x)$.

Bước 2: Tính $\lim\limits_{x\rightarrow + \infty}f(x),\,\,\lim\limits_{x\rightarrow - \infty}f(x)$ rồi kết luận.

Giải chi tiết

Ta có $\left. g(x) = \dfrac{x^{2}}{f^{2}(x) + 3f(x)}\Leftrightarrow g(x) = \dfrac{x^{2}}{f(x)\left\lbrack {f(x) + 3} \right\rbrack} \right.$.

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l} {f(x) \neq 0} \\ {f(x) \neq - 3} \end{array} \right.$.

Xét phương trình $\left. f(x) = 0\Leftrightarrow x = a \vee x = b\,\,\left( {0 < a < 1 < b} \right) \right.$.

Xét phương trình $\left. f(x) = - 3\Leftrightarrow x = 0 \right.$ (nghiệm bội 2)$\vee x = c \vee x = d$. Do đó $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{x^{2}}{f(x) + 3}$ là giới hạn hữu hạn.

Ta có:

$\lim\limits_{x\rightarrow a^{+}}g(x) = \lim\limits_{x\rightarrow a^{+}}\dfrac{x^{2}}{f(x)\left\lbrack {f(x) + 3} \right\rbrack} = + \infty$ nên đường thẳng $x = a$ là tiệm cận đứng của $(C)$.

$\lim\limits_{x\rightarrow b^{+}}g(x) = \lim\limits_{x\rightarrow b^{+}}\dfrac{x^{2}}{f(x)\left\lbrack {f(x) + 3} \right\rbrack} = - \infty$ nên đường thẳng $x = b$ là tiệm cận đứng của $(C)$.

$\lim\limits_{x\rightarrow c^{+}}g(x) = \lim\limits_{x\rightarrow c^{+}}\dfrac{x^{2}}{f(x)\left\lbrack {f(x) + 3} \right\rbrack} = \infty$ nên đường thẳng $x = b$ là tiệm cận đứng của $(C)$.

$\lim\limits_{x\rightarrow d^{+}}g(x) = \lim\limits_{x\rightarrow b^{+}}\dfrac{x^{2}}{f(x)\left\lbrack {f(x) + 3} \right\rbrack} = \infty$ nên đường thẳng $x = b$ là tiệm cận đứng của $(C)$.

$\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}g(x) = \lim\limits_{x\rightarrow 0^{-}}g(x) = k$ ($k$ là số xác định) nên đường thẳng $x = 0$ không là tiệm cận đứng của $(C)$.

Ta có:

$\lim\limits_{x\rightarrow + \infty}g(x) = \lim\limits_{x\rightarrow + \infty}\dfrac{x^{2}}{f(x)\left\lbrack {f(x) + 3} \right\rbrack} = 0$ và $\lim\limits_{x\rightarrow - \infty}g(x) = \lim\limits_{x\rightarrow - \infty}\dfrac{x^{2}}{f(x)\left\lbrack {f(x) + 3} \right\rbrack} = 0$ nên đường thẳng $y = 0$ là tiệm cận ngang của $(C)$.

Tóm lại, $(C)$ có 5 đường tiệm cận.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.