Cho hàm số $f(x) = 2^{x}$. Hãy chọn các khẳng định đúng

Câu hỏi số 832477:

Vận dụng

A. Hàm số $f(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $g(x) = 2^{x} \cdot \ln 2$.

B. Mọi nguyên hàm của hàm số $f(x)$ đều có dạng $F(x) = \dfrac{2^{x}}{\ln 2}$.

C. $F(x) = \dfrac{2^{x}}{\ln 2} + 1$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thỏa mãn $F(1) = 1$.

D. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2^{x}$, thỏa mãn $F(0) = \dfrac{1}{\ln 2}$. Khi đó giá trị biểu thức $T = F(0) + F(1) + \ldots + F(2024) + F(2025) = \dfrac{2^{2026} - 1}{\ln 2}$.

Đáp án đúng là: A; D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:832477

Phương pháp giải

Công thức nguyên hàm cơ bản

Sử dụng công thức tổng cấp số nhân $T = u_{1}.\dfrac{1 - q^{n}}{1 - q}$

Giải chi tiết

a) Đúng: $f'(x) = g(x)$.

b) Sai: ${\int 2^{x}}dx = \dfrac{2^{x}}{\ln 2} + C,C$ là hằng số.

c) Sai: $\left. F(x) = {\int 2^{x}}dx = \dfrac{2^{x}}{\ln 2} + C;F(1) = 1\Rightarrow\dfrac{2}{\ln 2} + C = 1\Rightarrow C = 1 - \dfrac{2}{\ln 2} \neq 1 \right.$.

d) Đúng: Ta có ${\int f}(x)\text{d}x = {\int 2^{x}}~\text{d}x = \dfrac{2^{x}}{\ln 2} + C$

$F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2^{x}$, ta có $F(x) = \dfrac{2^{x}}{\ln 2} + C$ mà $F(0) = \dfrac{1}{\ln 2}$

$\begin{array}{l} \left. \Rightarrow C = 0\Rightarrow F(x) = \dfrac{2^{x}}{\ln 2} \right. \\ {T = F(0) + F(1) + \ldots + F(2024) + F(2025)} \\ {= \dfrac{1}{\ln 2}\left( {1 + 2 + 2^{2} + \ldots + 2^{2024} + 2^{2025}} \right) = \dfrac{1}{\ln 2} \cdot \dfrac{2^{2026} - 1}{2 - 1} = \dfrac{2^{2026} - 1}{\ln 2}} \end{array}$

Đáp án cần chọn là: A; D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.