Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết $f(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $g(x) = 2f(x)

Câu hỏi số 832478:

Vận dụng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết $f(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $g(x) = 2f(x) + e^{3x};f(0) = 1$. Hãy chọn các khẳng định đúng

A. $\left\lbrack \dfrac{f(x)}{e^{2x}} \right\rbrack' = e^{3x}$.

B. $f(x) = e^{3x} + 3$.

C. $f'(x)\sin 3x = 3e^{x}.\sin 3x$.

D. ${\int\left( {f'(x) + \dfrac{1}{f'(x)}} \right)}dx = \dfrac{e^{3x}}{3} - \dfrac{e^{- 3x}}{3} + C$.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:832478

Phương pháp giải

Công thức nguyên hàm cơ bản

Sử dụng công thức tổng cấp số nhân $T = u_{1}.\dfrac{1 - q^{n}}{1 - q}$

Giải chi tiết

a) Sai. $\left. f'(x) = 2f(x) + e^{3x}\Leftrightarrow\dfrac{f'(x)e^{2x} - 2f(x)e^{2x}}{e^{4x}} = e^{x}\Leftrightarrow\left\lbrack \dfrac{f(x)}{e^{2x}} \right\rbrack' = e^{x} \right.$.

b) Sai. Dễ thấy $\left. \left\lbrack \dfrac{f(x)}{e^{2x}} \right\rbrack' = e^{x}\Rightarrow{\int\left\lbrack \dfrac{f(x)}{e^{2x}} \right\rbrack'}dx = {\int e^{x}}dx\Leftrightarrow\dfrac{f(x)}{e^{2x}} = e^{x} + C\Leftrightarrow f(x) = e^{2x}\left( {e^{x} + C} \right) \right.$.

Do $\left. f(0) = 1\Rightarrow C = 0 \right.$. Suy ra $f(x) = e^{3x}$.

c) Sai. $f'(x)\sin 3x = \left( e^{3x} \right)'.\sin 3x = 3e^{3x}\sin 3x$.

d) Đúng. ${\int\left( {f'(x) + \dfrac{1}{f'(x)}} \right)}dx = {\int\left( {e^{3x} + \dfrac{1}{e^{3x}}} \right)}dx = {\int\left( {e^{3x} + e^{- 3x}} \right)}dx = \dfrac{e^{3x}}{3} - \dfrac{e^{- 3x}}{3} + C$

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.