Cho 2023 số nguyên dương phân biệt $a_{1},\,\, a_{2},\ldots,a_{2023}$ lớn hơn 1. Chứng tỏ rằng $A =

Câu hỏi số 834113:

Vận dụng

Cho 2023 số nguyên dương phân biệt $a_{1},\,\, a_{2},\ldots,a_{2023}$ lớn hơn 1. Chứng tỏ rằng $A = \left( {1 + \dfrac{1}{a_{1}^{2}}} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{a_{2}^{2}}} \right)\ldots\left( {1 + \dfrac{1}{a_{2023}^{2}}} \right)$ không là số tự nhiên

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:834113

Phương pháp giải

Ta chứng minh $1 < A < 2$

Giải chi tiết

Do 2023 số nguyên dương phân biệt $a_{1},\,\, a_{2},\ldots,a_{2023}$ lớn hơn 1 nên không mất tính tổng quát ta giả sử $2 \leq a_{1} < a_{2} < \ldots < a_{2023}$

Khi đó $2 \leq a_{1},\,\, 3 \leq a_{2},\ldots 2024 \leq a_{2023}$

Ta có: $1 + \dfrac{1}{a_{1}^{2}} < 1 + \dfrac{1}{a_{1}^{2} - 1} \leq \dfrac{2^{2}}{2^{2} - 1} = \dfrac{2^{2}}{1.3}$

Tương tự $1 + \dfrac{1}{a_{2}^{2}} < 1 + \dfrac{1}{a_{2}^{2} - 1} \leq \dfrac{3^{2}}{3^{2} - 1} = \dfrac{3^{2}}{2.4}\ldots$

Do đó $A = \left( {1 + \dfrac{1}{a_{1}^{2}}} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{a_{2}^{2}}} \right)\ldots\left( {1 + \dfrac{1}{a_{2023}^{2}}} \right) < \dfrac{2^{2}.3^{2}.\ldots 2023^{2}}{1.3.2.4\ldots 2022.2024} = \dfrac{2023.2}{2024} < 2$

Lại có: $1 + \dfrac{1}{a_{1}^{2}} > 1,\,\, 1 + \dfrac{1}{a_{2}^{2}} > 1,\ldots,1 + \dfrac{1}{a_{2023}^{2}} > 1$

Suy ra $A = \left( {1 + \dfrac{1}{a_{1}^{2}}} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{a_{2}^{2}}} \right)\ldots\left( {1 + \dfrac{1}{a_{2023}^{2}}} \right) > 1$

Như vậy $1 < A < 2$

Vậy $A$ không là số tự nhiên

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link