Trong không gian với hệ trục $Oxyz$, mô tả một hệ thống theo dõi với vị trí trung tâm thiết

Câu hỏi số 837800:

Vận dụng

Trong không gian với hệ trục $Oxyz$, mô tả một hệ thống theo dõi với vị trí trung tâm thiết bị theo dõi tại điểm $M$, một đơn vị trên trục bằng 100 m ngoài thực tế. Có 4 nguồn phát sóng đặt ở các vị trí $A\left( {2;3;0} \right),B\left( {0;2; - 3} \right),C\left( {- 2;0;3} \right)$ và $D\left( {- 2;3;0} \right)$ đều thuộc phạm vi theo dõi của điểm $M$; khi di chuyển $A;B;C;D$ sang các vị trí xa nguồn $M$ thì không bị phát hiện nữa. Một thiết bị thu sóng $N$ bay theo một quỹ đạo mà độ trễ thời gian khi nhận tín hiệu từ các điểm $A;C$ như nhau và trên các điểm $B;D$ như nhau. Biết rằng thiết bị $N$ bay từ vùng không bị theo dõi đến vùng bị theo dõi và thoát ra khỏi hệ thống theo dõi của điểm $M$. Biết rằng tốc độ bay trung bình của $N$ là 30 km/h. Hỏi thiết bị $M$ theo dõi $N$ trong bao nhiêu giây (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:837800

Phương pháp giải

Viết phương trình mặt cầu (S) qua A, B, C, D

Do $N$ bay theo một quỹ đạo mà độ trễ thời gian khi nhận tín hiệu từ các điểm $A;C$ như nhau và trên các điểm $B;D$ như nhau suy ra khoảng cách $\left\{ \begin{array}{l} {NA = NC} \\ {NB = ND} \end{array} \right.$

Suy ra $N$ thuộc các mặt phẳng trung trực $(P),(Q)$ cạnh $AC;BD$.

Do đó $N \in \text{Δ}$ là giao của $(P),(Q)$.

Từ đó suy ra quãng đường theo dõi và thời gian theo dõi.

Giải chi tiết

Do 4 nguồn phát sóng đặt ở các vị trí $A\left( {2;3;0} \right),B\left( {0;2; - 3} \right),C\left( {- 2;0;3} \right)$ và $D\left( {- 2;3;0} \right)$ đều thuộc phạm vi theo dõi của điểm $M;$ khi di chuyển $A;B;C;D$ sang các vị trí xa nguồn $M$ thì không bị phát hiện nữa nên $A;B;C;D$ đều thuộc mặt cầu tâm $M$.

Gọi phương trình mặt cầu (S) có dạng $x^{2} + y^{2} + z^{2} + ax + by + cz + d = 0$

Vì mặt cầu (S) qua $A\left( {2;3;0} \right),B\left( {0;2; - 3} \right),C\left( {- 2;0;3} \right)$, $D\left( {- 2;3;0} \right)$ nên ta có hệ phương trình

$\left. \left\{ \begin{array}{l} {2^{2} + 3^{2} + 0^{2} + a.2 + b.3 + c.0 + d = 0} \\ {0^{2} + 2^{2} + \left( {- 3} \right)^{2} + a.0 + b.2 + c\left( {- 3} \right) + d = 0} \\ {\left( {- 2} \right)^{2} + 0^{2} + 3^{2} + a.\left( {- 2} \right) + b.0 + c.3 + d = 0} \\ {\left( {- 2} \right)^{2} + 3^{2} + 0^{2} + a\left( {- 2} \right) + b.3 + c.0 + d = 0} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {a = 0} \\ {b = 0} \\ {c = 0} \\ {d = 0} \end{array} \right. \right.$

Vậy $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} = 13$.

+) Do $N$ bay theo một quỹ đạo mà độ trễ thời gian khi nhận tín hiệu từ các điểm $A;C$ như nhau và trên các điểm $B;D$ như nhau suy ra khoảng cách $\left\{ \begin{array}{l} {NA = NC} \\ {NB = ND} \end{array} \right.$

Suy ra $N$ thuộc các mặt phẳng trung trực $(P),(Q)$ cạnh $AC;BD$.

Do đó $N \in \text{Δ}$ là giao của $(P),(Q)$.

$(P)$ qua $I\left( {0;\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2}} \right)$ và có VTPT $\overset{\rightarrow}{n}\left( {- 4; - 3;3} \right)$ nên có phương trình $- 4x - 3y + 3z = 0$

$(P)$ qua $J\left( {- 1;\dfrac{5}{2};\dfrac{- 3}{2}} \right)$ và có VTPT $\overset{\rightarrow}{n}\left( {- 2;1;3} \right)$ nên có phương trình $- 2x + y + 3z = 0$

Ta thấy $\text{Δ}$ đi qua tâm $O$ của $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} = 13$ nên $N$ bay theo một quỹ đạo là đường kính

Suy ra quãng đường bị theo dõi là $2R = 2\sqrt{13}$ đơn vị toạ độ và bằng $200\sqrt{13}$ m

Vận tốc theo dõi là 30km/h = $\dfrac{25}{3}$ m/s nên thời gian theo dõi là $\dfrac{200\sqrt{13}}{\dfrac{25}{3}} = 86,5$ giây

Đáp án cần điền là: 86,5

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.