Trong một bể hình lập phương cạnh 1 m có chứa một ít nước. Người ta đặt đáy bể nghiêng

Câu hỏi số 837801:

Vận dụng

Trong một bể hình lập phương cạnh 1 m có chứa một ít nước. Người ta đặt đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang. Biết rằng, lúc đó mặt nước có dạng hình bình hành $ABCD$ và khoảng cách từ các điểm $A,C$ đến đáy bể tương ứng là 25 cm, 75 cm.

Tìm khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt đáy bể khi góc giữa mặt nước và mặt đáy bể đạt giá trị nhỏ nhất.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:837801

Phương pháp giải

Chọn hệ trục tọa độ (đơn vị trên mỗi trục là centimét) sao cho các cạnh của hình hộp trùng với các trục tọa độ

Gọi toạ độ B theo tham số b. Khi đó tính ${\overset{\rightarrow}{n}}_{({ABC})} = \left\lbrack {\overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{AC}} \right\rbrack$

Tìm GTLN của $\text{cos}\left( {\left( {ABC} \right),\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| {\text{cos}\left( {{\overset{\rightarrow}{n}}_{({ABC})},\overset{\rightarrow}{k}} \right)} \right| = \dfrac{\left| {{\overset{\rightarrow}{n}}_{({ABC})}.\overset{\rightarrow}{k}} \right|}{\left| {\overset{\rightarrow}{n}}_{({ABC})} \right|.\left| \overset{\rightarrow}{k} \right|}$

Giải chi tiết

Chọn hệ trục tọa độ (đơn vị trên mỗi trục là centimét) sao cho các cạnh của hình hộp trùng với các trục tọa độ như hình trên.

Do hình hình hộp có kích thước đáy là $1\text{m} \times 1\text{m}$ nên $A\left( {100;0;25} \right),B\left( {0;0;b} \right),C\left( {0;100;75} \right)$

Ta có: $\overset{\rightarrow}{AB} = \left( {- 100;0;b - 25} \right)$ và $\overset{\rightarrow}{AC} = \left( {- 100;100;50} \right)$.

Nên ${\overset{\rightarrow}{n}}_{({ABC})} = \left\lbrack {\overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{AC}} \right\rbrack = \left( {2500 - 100b;7500 - 100b; - 10000} \right) = 100\left( {25 - b;75 - b; - 100} \right)$.

Để góc giữa mặt nước và mặt đáy bể đạt giá trị nhỏ nhất thì $\text{cos}\left( {\left( {ABC} \right),\left( {Oxy} \right)} \right)$ đạt giá trị lớn nhất.

Khi đó $\text{cos}\left( {\left( {ABC} \right),\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| {\text{cos}\left( {{\overset{\rightarrow}{n}}_{({ABC})},\overset{\rightarrow}{k}} \right)} \right| = \dfrac{\left| {{\overset{\rightarrow}{n}}_{({ABC})}.\overset{\rightarrow}{k}} \right|}{\left| {\overset{\rightarrow}{n}}_{({ABC})} \right|.\left| \overset{\rightarrow}{k} \right|}$.

$= \dfrac{100}{\sqrt{{(25 - b)}^{2} + {(75 - b)}^{2} + {( - 100)}^{2}}} = \dfrac{100}{\sqrt{2b^{2} - 200b + 16250}}$.

Để $\text{cos}\left( {\left( {ABC} \right),\left( {Oxy} \right)} \right) = \dfrac{100}{\sqrt{2b^{2} - 200b + 16250}}$ đạt GTLN thì biểu thức $P = 2b^{2} - 200b + 16250$ đạt GTNN.

Ta có $P = 2b^{2} - 200b + 16250 = 2\left( {b^{2} - 100b + 8125} \right) = 2\left( {b - 50} \right)^{2} + 11250 \geq 11250$

Dấu = xảy ra khi $b = 50$ hay giá trị $\text{cos}\left( {\left( {ABC} \right),\left( {Oxy} \right)} \right)$ đạt giá trị lớn nhất là $\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$ khi $b = 50$.

Đáp án cần điền là: 50

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.