Cho tam giác ABC có có \(A B=4 \sqrt{2}\), \(A C=6\), \(\widehat{B A C}=45^{\circ}\). Gọi D

Câu hỏi số 842304:

Vận dụng

Cho tam giác ABC có có \(A B=4 \sqrt{2}\), \(A C=6\), \(\widehat{B A C}=45^{\circ}\). Gọi D là trung điểm của đoạn thẳng BC. Điểm E thoả mãn \(\overrightarrow{A E}=k \overrightarrow{A C}(k \in \mathbb{R})\) (Hình). Chọn các khẳng định đúng:

\(\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=20\)

\(\overrightarrow{A D}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A B}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A C}\)

\(B C=3 \sqrt{5}\)

\(A D \perp B E\) khi \(k=\dfrac{14}{15}\).

Đáp án đúng là: B; D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:842304

Phương pháp giải

Tính \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB.AC.\cos A = 24\).
Biểu diễn các vectơ cần tính qua hai vectơ \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\):

+) \(\overrightarrow{AD} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})\)
+) \(\overrightarrow{BE} = k\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\)
Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BE} = 0\), thay số vào để tìm \(k\).

Giải chi tiết

Ta có: \(\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=A B \cdot A C \cdot \cos A=4 \sqrt{2} \cdot 6 \cdot \cos 45^{\circ}=24\).
Ta có: \(\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A B}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A C}\).
Khi đó:
\(\overrightarrow{B C}^2 =(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B})^2=\overrightarrow{A C}^2-2 \overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A B}^2\)
\(=6^2-2 \cdot 24+(4 \sqrt{2})^2=20 \)
\(\Rightarrow B C=2 \sqrt{5}\)
\(\overrightarrow{A D}^2 =\left(\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A B}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A C}\right)^2=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{A B}^2+2 \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}+\overrightarrow{A C}^2\right) \)
\(=\dfrac{1}{4}\left[(4 \sqrt{2})^2+2 \cdot 24+6^2\right]=29\)
\(\Rightarrow A D=\sqrt{29}\)
Ta có: \(\overrightarrow{B E}=\overrightarrow{A E}-\overrightarrow{A B}=k \overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}\).
Từ đó, ta có:
\(\overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{B E}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}) \cdot(k \overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}) \)
\(=\dfrac{1}{2}\left(k \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}+k \overrightarrow{A C}^2-\overrightarrow{A B}^2-\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\left[24 k+6^2 \cdot k-(4 \sqrt{2})^2-24\right] \)
\(=30 k-28\)
Khi đó \(A D \perp B E \Leftrightarrow \overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{B E}=0\)
\(\Leftrightarrow 30 k-28=0 \Leftrightarrow k=\dfrac{14}{15}\).

Đáp án cần chọn là: B; D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10