Cho tam giác ABC có có \(A B=4 \sqrt{2}\), \(A C=6\), \(\widehat{B A C}=45^{\circ}\). Gọi D

Câu hỏi số 842304:

Vận dụng

Cho tam giác ABC có có \(A B=4 \sqrt{2}\), \(A C=6\), \(\widehat{B A C}=45^{\circ}\). Gọi D là trung điểm của đoạn thẳng BC. Điểm E thoả mãn \(\overrightarrow{A E}=k \overrightarrow{A C}(k \in \mathbb{R})\) (Hình). Chọn các khẳng định đúng:

\(\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=20\)

\(\overrightarrow{A D}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A B}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A C}\)

\(B C=3 \sqrt{5}\)

\(A D \perp B E\) khi \(k=\dfrac{14}{15}\).

Đáp án đúng là: B; D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:842304

Phương pháp giải

Tính \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB.AC.\cos A = 24\).
Biểu diễn các vectơ cần tính qua hai vectơ \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\):

+) \(\overrightarrow{AD} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})\)
+) \(\overrightarrow{BE} = k\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\)
Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BE} = 0\), thay số vào để tìm \(k\).

Giải chi tiết

Ta có: \(\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=A B \cdot A C \cdot \cos A=4 \sqrt{2} \cdot 6 \cdot \cos 45^{\circ}=24\).
Ta có: \(\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A B}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A C}\).
Khi đó:
\(\overrightarrow{B C}^2 =(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B})^2=\overrightarrow{A C}^2-2 \overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A B}^2\)
\(=6^2-2 \cdot 24+(4 \sqrt{2})^2=20 \)
\(\Rightarrow B C=2 \sqrt{5}\)
\(\overrightarrow{A D}^2 =\left(\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A B}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A C}\right)^2=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{A B}^2+2 \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}+\overrightarrow{A C}^2\right) \)
\(=\dfrac{1}{4}\left[(4 \sqrt{2})^2+2 \cdot 24+6^2\right]=29\)
\(\Rightarrow A D=\sqrt{29}\)
Ta có: \(\overrightarrow{B E}=\overrightarrow{A E}-\overrightarrow{A B}=k \overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}\).
Từ đó, ta có:
\(\overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{B E}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}) \cdot(k \overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}) \)
\(=\dfrac{1}{2}\left(k \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}+k \overrightarrow{A C}^2-\overrightarrow{A B}^2-\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\left[24 k+6^2 \cdot k-(4 \sqrt{2})^2-24\right] \)
\(=30 k-28\)
Khi đó \(A D \perp B E \Leftrightarrow \overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{B E}=0\)
\(\Leftrightarrow 30 k-28=0 \Leftrightarrow k=\dfrac{14}{15}\).

Đáp án cần chọn là: B; D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.