Cho phương trình \(\log _3^2\left( {3x} \right) - \left( {m + 2} \right){\log _3}x + 2m - 5 = 0\) (\(m\)

Câu hỏi số 842901:

Vận dụng

Cho phương trình \(\log _3^2\left( {3x} \right) - \left( {m + 2} \right){\log _3}x + 2m - 5 = 0\) (\(m\) là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ {9;27} \right]\)?

Đáp án:

Đáp án đúng là: 1

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:842901

Phương pháp giải

- Đặt \(t = {\log _3}x\). Tìm khoảng giá trị \(t \in \left[ {a;b} \right]\).

- Đưa bài toán trở thành tìm \(m\) để phương trình bậc hai ẩn \(t\) có 2 nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ {a;b} \right]\).

- Tìm điều kiện để phương trình bậc hai ẩn \(t\) có 2 nghiệm phân biệt, sau đó giải tìm hai nghiệm theo \(m\)

- Cho các nghiệm đã tìm được thuộc \(\left[ {a;b} \right]\) và tìm \(m\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(log _3^2\left( {3x} \right) - \left( {m + 2} \right){\log _3}x + 2m - 5 = 0\)

\(\Leftrightarrow {\left( {{{\log }_3}x + 1} \right)^2} - \left( {m + 2} \right){\log _3}x + 2m - 5 = 0\)

\(\Leftrightarrow \log _3^2x - m{\log _3}x + 2m - 4 = 0\,\,\left( * \right)\)

Đặt \(t = {\log _3}x\), với \(x \in \left[ {9;27} \right] \Rightarrow t \in \left[ {2;3} \right]\), phương trình (*) trở thành \({t^2} - mt + 2m - 4 = 0\,\,\left( {**} \right)\).

Để phương trình ban đầu có hai nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ {9;27} \right]\) thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt \({t_1},\,\,{t_2} \in \left[ {2;3} \right]\).

Ta có \(\Delta = {m^2} - 4\left( {2m - 4} \right) > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 8m + 16 > 0\)

\(\Leftrightarrow {\left( {m - 4} \right)^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne 4\).

Khi đó (**) có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{t_1} = \dfrac{{m + m - 4}}{2} = m-2\\{t_2} = \dfrac{{m - m + 4}}{2} = 2 \in \left[ {2;3} \right]\end{array} \right.\).

Suy ra \(m \in \left( {4;5} \right]\) thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Vậy có 1 giá trị nguyên của m thoả mãn đề bài (\(m=5\)).

Đáp án cần điền là: 1

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.