Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AB = 6cm và AC = 8cm. Các phân giác trong và ngoài của góc B cắt

Câu hỏi số 845517:

Vận dụng

Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AB = 6cm và AC = 8cm. Các phân giác trong và ngoài của góc B cắt đường thẳngAC lần lượt tại M và N. Tính các đoạn thẳng AM và AN.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:845517

Phương pháp giải

Sử dụng định lý Pitago cho tam giác ABC vuông tại A để tính độ dài cạnh BC.

Theo đề bài ta có AM, AN lần lượt là các đường phân giác trong và ngoài của góc B.

Khi đó áp dụng tính chất tia phân giác của một góc ta có: $\dfrac{AM}{MC} = \dfrac{AN}{NC} = \dfrac{AB}{BC}.$

Giải chi tiết

Áp dụng định lý Pitago cho $\Delta ABH$ vuông tại $A$ có: $AB^{2} + AC^{2} = BC^{2}$

$\left. \Leftrightarrow BC^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 100\Rightarrow BC = 10\left( {cm} \right) \right.$

Vì BM là tia phân giác trong của góc $\left. B\Rightarrow\dfrac{MA}{MC} = \dfrac{AB}{BC} \right.$ (Tính chất đường phân giác)

$\left. \Rightarrow\dfrac{MA}{MC + MA} = \dfrac{AB}{BC + AB}\Rightarrow\dfrac{MA}{AC} = \dfrac{AB}{BC + AB} \right.$$\left. \Rightarrow\dfrac{MA}{8} = \dfrac{6}{10 + 6}\Rightarrow MA = 3cm \right.$

Vì BM; BN là tia phân giác trong và ngoài của góc B

$\left. \Rightarrow\angle B_{1} = \angle B_{2} \right.$ và $\angle B_{3} = \angle B_{4}$ nên $\angle B_{2} + \angle B_{3} = \angle B_{1} + \angle B_{4}$

Mà $\left. \angle B_{2} + \angle B_{3} + \angle B_{1} + \angle B_{4} = 180^{0}\Rightarrow\angle B_{2} + \angle B_{3} = \angle B_{1} + \angle B_{4} = 90^{0} \right.$

Hay $\angle NBM = 90^{0}$

Xét $\Delta ABM$ và $\Delta ABN$ có

$\angle MAB = \angle NAB\left( {= 90^{0}} \right)$

$\angle AMB = B_{3}$ (do cùng cộng với $\angle B_{2}$ bằng $90^{0}$)

$\left. \Rightarrow\Delta ABM \sim \Delta ANB\left( {g.g} \right) \right.$

$\left. \Rightarrow AB^{2} = AM.AN \right.$$\left. \Leftrightarrow 6^{2} = 3.AN\Leftrightarrow AN = 12\left( {cm} \right) \right.$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link