Cho $\Delta ABC$ vuông tại A có $AB = 6cm,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} BC = 10cm,$ đường cao AH. Gọi

Câu hỏi số 845521:

Vận dụng

Cho $\Delta ABC$ vuông tại A có $AB = 6cm,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} BC = 10cm,$ đường cao AH. Gọi $E,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} F$ lần lượt là hình chiếu của $H$ trên $AB,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} AC.$

a) Tính EF.

b) Chứng minh rằng $AE.AB = AF.AC.$

c) Tính $A = \sin^{2}B + \sin^{2}C - \tan B.\tan C.$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:845521

Phương pháp giải

a) Từ diện tích tam giác ABC tính AH = EF

b) Chứng minh $AE.AB = AF.AC = AH^{2}$

c) Tính $\sin B,\sin C,\tan B,\tan C$ từ đó thay vào A

Giải chi tiết

a) Ta có tam giác ABC vuông tại A nên $AC = \sqrt{BC^{2} - AB^{2}} = \sqrt{10^{2} - 6^{2}} = 8$ cm

Lại có: AH là đường cao của tam giác vuông ABC nên

$S_{\Delta ABC} = \dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}AB.AC$ suy ra $AH.BC = AB.AC$

$\left. \Rightarrow AH = \dfrac{AB \cdot AC}{BC} = \dfrac{6.8}{10} = 4,8 \right.$ cm

Tứ giác AFHE là hình chữ nhật (Do có 3 góc vuông)
Nên $\text{EF} = \text{AH} = 4,8$ cm
b) Xét $\Delta AHB$ và $\Delta AEH$ có $\angle BAH$ chung và $\angle AEH = \angle AHB = 90^{0}$

$\left. \Rightarrow\Delta AHB \sim \Delta AEH\left( {g.g} \right)\Rightarrow\dfrac{AH}{AE} = \dfrac{AB}{AH}\Rightarrow AH^{2} = AE.AB \right.$

Tương tự $\left. \Delta AHF \sim \Delta ACH\left( {g.g} \right)\Rightarrow AH^{2} = AF.AC \right.$

Do đó: $\text{AE} \cdot \text{AB} = \text{AF} \cdot \text{AC}$
c) Ta có: $\text{sin}B = \dfrac{AC}{BC} = > \text{sin}^{2}B = \dfrac{AC^{2}}{BC^{2}}$
$\text{sin}C = \dfrac{AB}{BC} = > \text{sin}^{2}C = \dfrac{AB^{2}}{BC^{2}}$
$\text{tan}B = \dfrac{AC}{AB} = > \text{tan}C = \dfrac{AB}{AC}$
Vậy $A = \text{sin}^{2}B + \text{sin}^{2}C - \text{tan}B \cdot \text{tan}C$
$= \dfrac{AC^{2}}{BC^{2}} + \dfrac{AB^{2}}{BC^{2}} - \dfrac{AC}{AB} \cdot \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AC^{2} + AB^{2}}{BC^{2}} - 1$
$= \dfrac{BC^{2}}{BC^{2}} - 1 = 0$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link