Cho hai biểu thức:$A = \dfrac{x}{\sqrt{x} + 1}$ và $B = \dfrac{\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} + 1} - \dfrac{1}{\sqrt{x} -

Câu hỏi số 846202:

Thông hiểu

Cho hai biểu thức:$A = \dfrac{x}{\sqrt{x} + 1}$ và $B = \dfrac{\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} + 1} - \dfrac{1}{\sqrt{x} - 1} + \dfrac{6}{x - 1}$ với $x \geq 0;x \neq 1$

a) Tính giá trị của biểu thức A tại $x = 9$

b) Chứng minh $B = \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$

c) Đặt $P = A.B$. Tìm tất cả các giá trị của x thỏa mãn $P \leq 4$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:846202

Phương pháp giải

a) Thay $x = 9$ vào biểu thức A.

b) Rút gọn biểu thức B.

c) Tính $P = A.B$ rồi giải bất phương trình $P \leq 4$.

Giải chi tiết

a) Thay $x = 9$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A :

$A = \dfrac{9}{\sqrt{9} + 1} = \dfrac{9}{3 + 1} = \dfrac{9}{4}$

- Vậy khi $x = 9$ thì $A = \dfrac{9}{4}$.

b) Với $x \geq 0;x \neq 1$ ta có:

$B = \dfrac{\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} + 1} - \dfrac{1}{\sqrt{x} - 1} + \dfrac{6}{x - 1}$

$B = \dfrac{x - \sqrt{x} + 4\sqrt{x} - 4 - \sqrt{x} - 1 + 6}{\left( {\sqrt{x} + 1} \right)\left( {\sqrt{x} - 1} \right)}$

$B = \dfrac{x + 2\sqrt{x} + 1}{\left( {\sqrt{x} + 1} \right)\left( {\sqrt{x} - 1} \right)}$

$B = \dfrac{\left( {\sqrt{x} + 1} \right)^{2}}{\left( {\sqrt{x} + 1} \right)\left( {\sqrt{x} - 1} \right)}$

$B = \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$

Vậy với $x \geq 0;x \neq 1$ thì $B = \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$

c) Ta có: $P = A.B = \dfrac{x}{\sqrt{x} + 1}.\dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} = \dfrac{x}{\sqrt{x} - 1}$

Để $P \leq 4$ thì $\dfrac{x}{\sqrt{x} - 1} \leq 4$ hay $\dfrac{x}{\sqrt{x} - 1} - 4 \leq 0$ hay $\dfrac{x - 4\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 1} \leq 0$ hay $\dfrac{\left( {\sqrt{x} - 2} \right)^{2}}{\sqrt{x} - 1} \leq 0$

Vì $\left( {\sqrt{x} - 2} \right)^{2} \geq 0$ nên để $\dfrac{\left( {\sqrt{x} - 2} \right)^{2}}{\sqrt{x} - 1} \leq 0$ thì $\left( {\sqrt{x} - 2} \right)^{2} = 0$ hoặc $\sqrt{x} - 1 \leq 0$

Nếu $\left( {\sqrt{x} - 2} \right)^{2} = 0$ suy ra $x = 4$ (thoả mãn điều kiện)

Nếu $\sqrt{x} - 1 \leq 0$ suy ra $\sqrt{x} \leq 1$ hay $x \leq 1$

Kết hợp điều kiện $x \geq 0;x \neq 1$ suy ra $0 \leq x < 1$ hoặc $x = 4$

Vậy $0 \leq x < 1$ hoặc $x = 4$ là các giá trị cần tìm.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link