1. Một bồn hoa trong công viên có dạng hình quạt tròn có bán

Câu hỏi số 846204:

Vận dụng

1. Một bồn hoa trong công viên có dạng hình quạt tròn có bán kính bằng 6 m, chu vi bằng 25 m. Tính diện tích của bồn hoa hình quạt tròn đó?

2. Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường tròn tâm O đường kính AB, đường tròn tâm O cắt BC tại D. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với OC tại H, AH cắt (O) tại điểm thứ hai là E.

a) Chứng minh $OE\bot CE$ và 4 điểm $A,C,{\mkern 1mu} E,O$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh $CA^{2} = CH.CO$ và $CH.CO = CD.CB$

c) Chứng minh $\angle CHD = \angle CBO$ và $EH^{2} = DE^{2} + DH^{2}$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:846204

Phương pháp giải

1. Chu vi của hình quạt: C = l + 2R, trong đó l là độ dài cung.

Từ công thức tính độ dài cung, tính được số đo cung, sau đó áp dụng công thức tính diện hình quạt để tính diện tích bồn hoa.

2. a) Chứng minh $\Delta OAC = \Delta OEC$ (c.g.c), từ đó suy ra $OE\bot CE$. Chứng minh $A,C,{\mkern 1mu} E,O$ cùng thuộc một đường tròn đường kính OC.

b) Chứng minh $\Delta OAC \sim \Delta AHC$(g.g) và $\Delta\, ABC \sim \Delta\, DAC$(g.g) suy ra đpcm.

c) Chứng minh $\Delta CHD \sim \Delta\, CBO$(c.g.c)

Giải chi tiết

1.Độ dài cung tròn là: $l = 25 - 2.6 = 13(\text{m})$

Ta có: $l = \dfrac{nR\pi}{180}$ suy ra số đo cung là $n = \dfrac{180l}{\pi R} = \dfrac{180.13}{6\pi} = \dfrac{390}{\pi}$

Diện tích bồn hoa là: $S = \dfrac{nR^{2}\pi}{360} = \dfrac{390.6^{2}.\pi}{\pi.360} = 39\left( \text{m}^{2} \right)$

a) Vì OA = OE (cùng bằng bán kính của (O)) nên $\Delta OAE$ cân tại O

Mà OH là đường cao nên OH đồng thời là phân giác của góc AOE

Suy ra $\angle AOH = \angle HOE$

Xét $\Delta OAC$ và $\Delta OEC$ có:

OC chung

$\angle AOH = \angle HOE$(cmt)

$OA = OE$

Suy ra $\Delta OAC = \Delta OEC$ (c.g.c)

Suy ra $\angle OEC = \angle OAC = 90{^\circ}$

Suy ra $OE\bot CE$

+) $\Delta OAC$vuông tại A nên A thuộc đường tròn đường kính OC

$\Delta OEC$vuông tại E nên E thuộc đường tròn đường kính OC

Suy ra A, C, E, O cùng thuộc đường tròn đường kính OC

b) +) Xét $\Delta OAC$ và $\Delta AHC$ có:

$\angle OAC = \angle AHC = 90{^\circ}$

$\angle OCA$ chung

Suy ra $\Delta OAC \sim \Delta AHC$(g.g)

Suy ra $\dfrac{AC}{CH} = \dfrac{CO}{AC}$

Suy ra $CA^{2} = CH.CO$

+) Vì D thuộc đường tròn đường kính AB nên $\Delta ADC$ vuông tại D hay $\angle ADC = \angle ADB = 90^{0}$

Xét $\Delta\, ABC$ và $\Delta\, DAC$ có:

$\angle OAC = \angle ADC = 90{^\circ}$

$\angle ACB$ chung

Suy ra $\Delta\, ABC \sim \Delta\, DAC$(g.g)

Suy ra $\dfrac{AC}{CD} = \dfrac{CB}{AC}$

Suy ra $CA^{2} = CD.CB$

Từ (1) và (2) suy ra $CH.CO = CD.CB$

c) Vì $CH.CO = CD.CB$ nên $\dfrac{CH}{CB} = \dfrac{CD}{CO}$

Xét $\Delta CHD$ và $\Delta\, CBO$ có:

Góc C chung

$\dfrac{CH}{CB} = \dfrac{CD}{CO}$

Suy ra $\Delta CHD \sim \Delta\, CBO$(c.g.c)

Suy ra $\angle CHD = \angle CBO$(hai góc tương ứng)

+) Vì $\Delta ADC$ vuông tại D nên A, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính AC

$\Delta AHC$ vuông tại H nên A, H, C cùng thuộc đường tròn đường kính AC

Suy ra A, H, D, C cùng thuộc đường tròn đường kính AC

$\left. \Rightarrow\angle DCA + \angle DHA = 180^{0} \right.$ (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp)

Mà $\angle DHA + \angle DHE = 180^{0}$ (hai góc kề bù)

Suy ra $\angle DCA = \angle DHE$ (1)

Mà $\angle DEH = \angle DBA$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AD của (O;OA)

Suy ra $\angle DCA + DBA = \angle DHE + \angle DEH$

Hay $\angle DHE + \angle DEH = 90^{0}$ nên $\Delta DHE$ vuông tại D

$\left. \Rightarrow EH^{2} = DE^{2} + DH^{2} \right.$ (định lý phythagore)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link