Người ta giăng lưới để nuôi riêng một loại cá trên một gọ́c hồ. Biết

Câu hỏi số 846205:

Vận dụng

Người ta giăng lưới để nuôi riêng một loại cá trên một gọ́c hồ. Biết rằng lưới được giăng theo một đường thẳng từ một vị trí trên bờ ngang đến một vị trí trên bờ dọc và phải đi qua một cái cọc đã cắm sẵn ở vị trí A. Hỏi diện tích nhỏ nhất có thể giăng của khu nuôi cá riêng biệt là bao nhiêu, biết rằng khoảng cách từ cọc đến bờ ngang là 5 m và khoảng cách từ cọc đến bờ dọc là 12 m.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:846205

Phương pháp giải

Áp dụng định lý Thales tính biểu diễn độ dài một cạnh góc vuông theo cạnh còn lại.

Viết biểu thức tính diện tích khu nuôi cá, sau đó áp dụng định lý Cauchy tìm diện tích nhỏ nhất.

Giải chi tiết

Giả sử 2 điểm trên bờ ngang và bờ dọc lần lượt là B và C.

Kẻ $AM\bot OB,AN\bot OC$ như hình vẽ.

Khi đó AMON là hình chữ nhật (do có 3 góc vuông)

Đặt $BM = x$ ($x > 0$) suy ra $OB = x + 5$

Khi đó theo định lý Thales ta có: $\dfrac{AM}{OC} = \dfrac{BM}{OB}$

Suy ra $OC = \dfrac{AM.OB}{BM} = \dfrac{12\left( {x + 5} \right)}{x}$

Diện tích khu nuôi cá là: $S = \dfrac{1}{2}.OB.OC = \dfrac{1}{2}.\left( {x + 5} \right).\dfrac{12\left( {x + 5} \right)}{x} = \dfrac{6}{x}\left( {x + 5} \right)^{2} = 6\left( {x + \dfrac{25}{x} + 10} \right)$

Áp dụng định lý Cauchy ta có: $x + \dfrac{25}{x} \geq 2.\sqrt{x.\dfrac{25}{x}} = 10$

Suy ra $S \geq 6\left( {10 + 10} \right) = 120$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x = \dfrac{25}{x}$ hay $x^{2} = 25$ hay $x = 5$

Vậy diện tích nhỏ nhất có thể giăng của khu nuôi cá riêng biệt là 120m².

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link