Cho các số hữu tỉ $\dfrac{a}{b}$ và $\dfrac{c}{d}$ với mẫu dương trong đó $\dfrac{a}{b} <

Câu hỏi số 846225:

Vận dụng

Cho các số hữu tỉ $\dfrac{a}{b}$ và $\dfrac{c}{d}$ với mẫu dương trong đó $\dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{d}$. Chứng minh rằng $\dfrac{a}{b} < \dfrac{a + c}{b + d} < \dfrac{c}{d}$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:846225

Phương pháp giải

- Chứng minh $ad < bc$

- Xét hiệu $\dfrac{a + c}{b + d} - \dfrac{a}{b},\,\,\dfrac{c}{d} - \dfrac{a + c}{b + d}$

Giải chi tiết

Vì $\dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{d}$ nên $\dfrac{ad}{bd} < \dfrac{bc}{bd}$ hay $ad < bc$

Xét $\dfrac{a + c}{b + d} - \dfrac{a}{b} = \dfrac{ab + bc - ab - ad}{b\left( {b + d} \right)} = \dfrac{bc - ad}{b\left( {b + d} \right)} > 0\,\,\left( {do\,\, ad < bc,\,\, b,\,\, d > 0} \right)$

Suy ra $\dfrac{a + c}{b + d} > \dfrac{a}{b}$

Xét $\dfrac{c}{d} - \dfrac{a + c}{b + d} = \dfrac{bc + cd - ad - cd}{d\left( {b + d} \right)} = \dfrac{bc - ad}{d\left( {b + d} \right)} > 0\,\,\left( {do\,\, ad < bc,\,\, d,\,\, d > 0} \right)$

Suy ra $\dfrac{c}{d} > \dfrac{a + c}{b + d}$

Vậy $\dfrac{a}{b} < \dfrac{a + c}{b + d} < \dfrac{c}{d}$

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link