Trong không gian \({\rm{O}}xyz\), cho các điểm \(A\left( {4;2;5} \right);B\left( {0;4; - 3}

Câu hỏi số 847261:

Thông hiểu

Trong không gian \({\rm{O}}xyz\), cho các điểm \(A\left( {4;2;5} \right);B\left( {0;4; - 3} \right);C\left( {2; - 3;7} \right)\). Tìm điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) nằm trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:847261

Phương pháp giải

Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác.

Tính \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\) và đánh giá GTNN.

Giải chi tiết

\(\overrightarrow {AB} \left( { - 4;2; - 8} \right);\overrightarrow {AC} \left( { - 2; - 5;2} \right)\). Dễ thấy 2 vec tơ đó không cùng phương nên \(A,B,C\) là ba đỉnh của một tam giác.

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác ABC. Suy ra \(G\left( {2;1;3} \right)\).

Ta có: \(M \in \left( {{\rm{O}}xy} \right) \Rightarrow M\left( {{x_0};{y_0};0} \right)\)

Lại có, \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = \left| {3\overrightarrow {MG} } \right| = 3\sqrt {{{\left( {2 - {x_0}} \right)}^2} + {{\left( {1 - {y_0}} \right)}^2} + {3^2}} \ge 3\sqrt {0 + 0 + 9} = 9\) .

Do đó \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(9\) nếu \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\{y_0} = 1\end{array} \right.\).

Vậy \(M\left(2;1;0 \right)\).

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.