(3,0 điểm)Cho tam giác nhọn $ABC(AB < AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có $BE,CF$ là các đường

Câu hỏi số 847264:

Vận dụng

(3,0 điểm)

Cho tam giác nhọn $ABC(AB < AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có $BE,CF$ là các đường cao. Gọi $M,K$ theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng $BC,EF$. Gọi $N$ là giao điểm của hai đường thẳng $AM$ và $EF$. Kẻ $ND$ vuông góc với $BC$ tại $D$.

a) Chứng minh rằng $\widehat{AKE} = \widehat{AMB}$ và ba điểm $A,K,D$ thẳng hàng.

b) Tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn $(O)$ cắt đường thẳng $BC$ tại $Q$. Chứng minh rằng $QB \cdot DC = QC \cdot DB$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:847264

Phương pháp giải

a) Chứng minh $\Delta ABC \sim \Delta AEF$ từ đó $\left. \left. \Rightarrow\Delta AEK \right.\sim\Delta ABM\Rightarrow\widehat{AKE} = \widehat{AMB} \right.$

Chứng minh MDKN nội tiếp $\left. \Rightarrow\widehat{DKN} + \widehat{AKN} = 180^{\circ} \right.$

b) CM $\left. \Delta QAB \right.\sim\Delta QCA$ suy ra $\dfrac{QB}{QC} = \dfrac{AB^{2}}{AC^{2}}$

Từ $\begin{matrix} {\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{S_{ADB}}{S_{ADC}} = \dfrac{S_{ADB}}{S_{AKF}}.\dfrac{S_{AKE}}{S_{ADC}} = \dfrac{AB^{2}}{AC^{2}}} \end{matrix}$ ta được $QB \cdot DC = QC \cdot DB$

Giải chi tiết

a) Vì BE, CF là các đường cao nên $\angle BEC = \angle CFB = 90^{0}$

Suy ra B, E, C, F cùng thuộc đường tròn đường kính BC

Suy ra tứ giác $BCEF$ nội tiếp nên $\widehat{ABC} = \widehat{AEF}$ (1)

Kết hợp góc A chung suy ra $\Delta ABC \sim \Delta AEF$ $\left. \Rightarrow\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{EF}{BC} = \dfrac{2EK}{2BM} = \dfrac{EK}{BM} \right.$ (2)

Từ (1) và (2) $\left. \left. \Rightarrow\Delta AEK \right.\sim\Delta ABM\Rightarrow\widehat{AKE} = \widehat{AMB} \right.$

Ta có $BCEF$ nội tiếp đường tròn tâm $M$ mà $K$ là trung điểm $EF$ nên $MK\bot EF$ $\left. \widehat{MKN} = \widehat{MDN} = 90^{\circ}\Rightarrow MDKN\ \right.$ nội tiếp

$\left. \Rightarrow\widehat{DKN} + \widehat{DMN} = 180^{\circ}\Rightarrow\widehat{DKN} + \widehat{AKN} = 180^{\circ} \right.$

Vậy ba điểm $A,K,D$ thẳng hàng.

b) Cách 1. Vì $\angle QAC = 90^{0} + \angle OAC = 90^{0} + \dfrac{180^{0} - \angle AOC}{2}$

$= 90^{0} + 90^{0} - \dfrac{\angle AOC}{2} = 180^{0} - \angle ABC = \angle ABQ$

Kết hợp góc Q chung nên $\left. \Delta QAB \right.\sim\Delta QCA$ (g-g) $\left. \Rightarrow\dfrac{QB}{QA} = \dfrac{QA}{QC} = \dfrac{AB}{AC} \right.$

Do đó $\dfrac{QB}{QC} = \dfrac{QB}{QA}.\dfrac{QA}{QC} = \dfrac{AB}{AC}.\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AB^{2}}{AC^{2}}$ (3)

$\begin{array}{l} {\dfrac{S_{AKF}}{S_{ADB}} = \dfrac{S_{AKF}}{S_{ADF}}.\dfrac{S_{ADF}}{S_{ADB}} = \dfrac{AK}{AD}.\dfrac{AF}{AB};} \\ {\dfrac{S_{AKE}}{S_{ADC}} = \dfrac{S_{AKE}}{S_{ADE}}.\dfrac{S_{ADE}}{S_{ADC}} = \dfrac{AK}{AD}.\dfrac{AE}{AC}} \end{array}$

Mà $S_{AKE} = S_{AKF}$

Suy ra $\begin{matrix} {\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{S_{ADB}}{S_{ADC}} = \dfrac{S_{ADB}}{S_{AKF}}.\dfrac{S_{AKE}}{S_{ADC}} = \dfrac{AD}{AK}.\dfrac{AB}{AF}.\dfrac{AK}{AD}.\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{AE}{AF}.\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AB^{2}}{AC^{2}}(4)} \end{matrix}$

Từ (3) và (4) $\left. \Rightarrow\dfrac{QB}{QC} = \dfrac{DB}{DC}\Rightarrow QB \cdot DC = QC \cdot DB \right.$

Cách 2. Từ $D$ kẻ đường thẳng song song với $EF$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $J,L$

Vì $K$ là trung điểm $EF$ nên $D$ là trung điểm $JL$

Vì $\left. \widehat{ACB} = \widehat{AFE} = \widehat{QAB}\Rightarrow EF//AQ\Rightarrow JL//AQ \right.$

Ta có $\left. JL//AQ\Rightarrow\dfrac{QB}{DB} = \dfrac{QA}{DJ} = \dfrac{QA}{DL} = \dfrac{QC}{CD}\Rightarrow QB.DC = QC.DB \right.$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link