Tìm hai số nguyên tố $p,\,\, q$ để $pq + 11$ và $7p + q$ cùng là số nguyên tố

Câu hỏi số 849304:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:849304

Phương pháp giải

Chứng minh $pq$ chẵn

Từ đó ta xét trường hợp $p = 2$ hoặc $q = 2$

Giải chi tiết

Vì $p,\,\, q$ là số nguyên tố nên $pq + 11$ là số nguyên tố lớn hơn 11

Do đó $pq + 11$ là số lẻ nên $pq$ là số chẵn

Do $7p + q$ là số nguyên tố lớn hơn 7 nên $p$ và $q$ không cùng tính chẵn lẻ

Trường hợp 1:

Nếu $p = 2$ thì $7p + q = 14 + q$

Với $q \vdots 3$ mà $q$ nguyên tố ta được $q = 3$

Khi đó $7p + q = 17,\,\, pq + 11 = 17$ là các số nguyên tố

Với $q = 3k + 1\left( {k \in {\mathbb{N}}*} \right)$ thì $14 + q = 3k + 15 \vdots 3$ nên $7p + q$ là hợp số

Với $q = 3k + 2\,\,\left( {k \in {\mathbb{N}}*} \right)$ thì $pq + 11 = 2q + 11 = 6k + 15 \vdots 3$ nên $pq + 11$ là hợp số

Trường hợp 2:

Nếu $q = 2$ thì $7p + q = 7p + 2$

Với $p \vdots 3$ mà $p$ nguyên tố ta được $p = 3$

Với $p = 3l + 1\left( {l \in {\mathbb{N}}*} \right)$ ta được $7p + 2 = 7\left( {3l + 1} \right) + 2 = 21l + 9 \vdots 3$ nên $7p + q$ là hợp số

Với $p = 3l + 2\left( {l \in {\mathbb{N}}*} \right)$ ta được $pq + 11 = 2p + 11 = 2\left( {3l + 2} \right) + 11 = 6l + 15 \vdots 3$ nên $pq + 11$ là hợp số

Vậy $\left( {p,q} \right) = \left( {2,3} \right),\left( {3,2} \right)$

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link