Cho tam giác $ABC$ ($AB < AC$) nhọn, không cân và có các đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại trực

Câu hỏi số 850973:

Vận dụng

Cho tam giác $ABC$ ($AB < AC$) nhọn, không cân và có các đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại trực tâm $H$. Gọi $M,N,I$ tương ứng là trung điểm của các đoạn thẳng $BC,EF,AH$. Các đường thẳng $AH,BC$ theo thứ tự cắt đường thẳng $EF$ tại $J,S$.

a) Chứng minh rằng $SB \cdot SC = SE \cdot SF = SJ \cdot SN$.

b) Chứng minh rằng $J$ là trực tâm của tam giác $IBC$.

c) Gọi $P$ là điểm đổi xứng của $N$ qua $BC$. Chứng minh rằng $\widehat{BLP} = \widehat{CIM}$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:850973

Phương pháp giải

a) Chứng minh $\Delta SBF \sim \Delta SEC\left( {g.g} \right)$ suy ra $SB \cdot SC = SE \cdot SF$

Chứng minh $I,M,N$ thẳng hàng và $IM$ vuông góc $EF$ tại $N$.

Suy ra $\left. \Delta SDJ \sim \Delta SNM\left( {g.g} \right)\Leftrightarrow SM.SD = SN.SJ \right.$

Từ đó suy ra $SB \cdot SC = SE \cdot SF = SJ \cdot SN$

b) Chứng minh $\begin{matrix} \left. \Delta IBH \sim \Delta NBF\left( {\text{~c}\text{.g}\text{.c~}} \right)\Rightarrow\angle BIH = \angle BNJ \right. \end{matrix}$

Chứng minh $\Delta SBN \sim \Delta SJC$ (c.g.c $\left. )\Rightarrow\angle SNB = \angle SCJ. \right.$

Suy ra $JC$ vuông góc $IB$ hay $J$ là trực tâm của tam giác $IBC$.

c) Chứng minh $\text{Δ}MBN \sim \text{Δ}MIB\left( {\text{~c}\text{.g}\text{.c~}} \right)$

Chứng minh $\Delta PBI \sim \Delta CMI$ (c.g.c).

Từ đó suy ra $\angle BIP = \angle MIC$.

Giải chi tiết

a) Ta có tam giác $BFC$ vuông tại $F$ và tam giác $BEC$ vuông tại $E$.

Mà $M$ là trung điểm của $BC$.

Suy ra $MB = MC = ME = MF$ nên tứ giác $BFEC$ nội tiếp đường tròn $\left( {M,MB} \right)$.

Ta có: $\angle SFB = 180^{\circ} - \angle BFE = \angle BCE$, và góc $FSB$ chung thì $\Delta SBF \sim \Delta SEC\left( {g.g} \right)$.

Khi đó $\left. \dfrac{SF}{SB} = \dfrac{SC}{SE}\Leftrightarrow SF.SE = SB.SC \right.$.

Vì tam giác $AEH$ vuông tại $H$ có $I$ là trung điểm $AH$ nên $IA = IE = IH$.

Ta có: $\angle IEM = 180^{\circ} - \angle IEA - \angle MEC = 180^{\circ} - \angle IAE - \angle MCE = 90^{\circ}$.

Tương tự thì $\angle IFM = 90^{\circ}$. Như vậy $\angle IDM = \angle IEM = \angle IFM = 90^{\circ}$.

Ta chứng minh được 5 điểm $I,F,E,M,D$ thuộc một đường tròn.

Do đó tứ giác $DFEM$ nội tiếp suy ra $\angle FDS = 180^{\circ} - \angle FDM = \angle FEM$, và góc $FSB$ chung.

Dẫn đến $\left. \Delta SDF \sim \Delta SEM\left( {g.g} \right)\Rightarrow\dfrac{SD}{SE} = \dfrac{SF}{SM}\Leftrightarrow SM.SD = SE.SF \right.$.

Mặt khác $IE = IF,NE = NF,ME = MF$ nên $I,M,N$ thẳng hàng và $IM$ vuông góc $EF$ tại $N$.

Ta chứng minh được $\left. \Delta SDJ \sim \Delta SNM\left( {g.g} \right)\Rightarrow\dfrac{SD}{SN} = \dfrac{SJ}{SM}\Leftrightarrow SM.SD = SN.SJ \right.$

Từ (1)(2)(3) thì $SB.SC = SE.SF = SN.SJ$.

b) Ta có $\angle BFE = 180^{\circ} - \angle BCA = \angle DHE = \angle AHB$.

Dẫn đến $\left. \Delta ABH \sim \Delta EBF\left( {g.g} \right)\Rightarrow\dfrac{BH}{BF} = \dfrac{AH}{EF} = \dfrac{IH}{NF},\angle BFE = \angle AHB \right.$

Thì $\begin{matrix} \left. \Delta IBH \sim \Delta NBF\left( {\text{~c}\text{.g}\text{.c~}} \right)\Rightarrow\angle BIH = \angle BNJ.\,\,\,\,(4) \right. \end{matrix}$

Từ câu a $\left. \dfrac{SB}{SN} = \dfrac{SJ}{SC}\Rightarrow\Delta SBN \sim \Delta SJC \right.$ (c.g.c $\left. )\Rightarrow\angle SNB = \angle SCJ.\,\,\,\,\,(5) \right.$

Từ (4) (5) thì $90 = \angle IBD + \angle BID = \angle IBD + \angle BNJ = \angle IBD + \angle SCJ$

Suy ra $JC$ vuông góc $IB$.

Kết hợp với $IJ$ vuông góc $BC$.

Như vậy $J$ là trực tâm của tam giác $IBC$.

c) Ta có tam giác $IEM$ vuông tại $E$ và $IN$ là đường cao nên

$\left. MN.MI = ME^{2} = MB^{2}\Rightarrow\dfrac{MN}{MB} = \dfrac{MB}{MI}\Rightarrow\text{Δ}MBN \sim \text{Δ}MIB\left( {\text{~c}\text{.g}\text{.c~}} \right). \right.$

Suy ra $\left. \dfrac{MB}{BN} = \dfrac{MI}{IB}\Rightarrow\dfrac{MI}{MC} = \dfrac{BI}{BP},\left( {BP = BN,MB = MC} \right) \right.$.

Và $\angle IBP = \angle IBM + \angle MBP = \angle IBM + \angle MBN = \angle IBM + \angle BIM = \angle IMC$

Do đó $\Delta PBI \sim \Delta CMI$ (c.g.c).

Vậy $\angle BIP = \angle MIC$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link