Cho đa giác đều $(H)$ có 2026 đỉnh.a) Có bao nhiêu tam giác vuông mà các đỉnh là đỉnh của đa

Câu hỏi số 850974:

Vận dụng

Cho đa giác đều $(H)$ có 2026 đỉnh.

a) Có bao nhiêu tam giác vuông mà các đỉnh là đỉnh của đa giác $(H)$?

b) Tai mỗi đỉnh của đa giác $(H)$, người ta viết một số nguyên dương không vượt quá 1012. Chứng minh rằng tồn tại bốn đỉnh $A,B,C,D$ của đa giác $(H)$, sao cho $ABCD$ là một hình chữ nhật và $a + b = c + d$ trong đó $a,b,c,d$ tương ứng là các số được viết tại các đỉnh A, B, C, D.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:850974

Phương pháp giải

a) Tìm số các đường chéo qua tâm của đa giác đều. Khi đó các đường chéo này chính là đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác đều $(H)$. Từ các đường kính, chọn 1 đỉnh bất kì của đa giác ta được tam giác vuông

b) Tìm các số mà được gắn với các đường kính của đường tròn từ đó chứng minh tồn tại hình chữ nhật.

Giải chi tiết

a. Ta có đa giác đều $(H)2026$ đỉnh và có 2026 cạnh, nội tiếp đường tròn $(O)$ nên số đường đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác đều là 1013.

Ta chọn 1 đường kính và chọn 1 đỉnh trong 2024 đỉnh còn lại.

Suy ra số tam giác vuông được tạo thành là 2024.

Như vậy có tất cả 1013.2024 tam giác vuông mà các đỉnh là đỉnh của đa giác

b. Giả sử $XY$ là một đường kính bất kì của ($O$), và viết đỉnh $X$ tương ứng với số $x$, $Y$ tương ứng với số $y$. Đồng thời, gắn đường kính $XY$ số $\left| {x - y} \right|$.

Do $x,y \in \left\{ {1,2,\ldots,1012} \right\}$ nên dễ thấy $0 \leq \left| {x - y} \right| \leq 1011$.

Như vậy 1013 đường kính của đường tròn sẽ được gắn các số từ $1,2,\ldots,1011$.

Theo nguyên lí Dirichlet có ít nhất hai đường kính được gắn chung một giá trị.

Không giảm tính tổng quát, giả sử là hai đường kính $AC,BD$, trong đó $A,B,C,D$ tương ứng với các số $a,b,c,d$ và $a \geq c,b \leq d$ (nếu không thì đổi tên các đầu mút của đường kính với nhau).

Theo giả thiết thì đường kính $AC$ gắn với số $a - c$, còn đường kính $BD$ gắn với số $d - b$.

Từ $\left. a - c = d - b\Leftrightarrow a + b = c + d \right.$. Và rõ ràng $ABCD$ là hình chữ nhật.

Như vậy ta có được điều phải chứng minh.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link