a) Có bao nhiêu số nguyên dương $n$ bé hơn 2026 sao cho $1^{n} + 2^{n} + 3^{n} + 4^{n}$ chia hết cho 5 ?b)

Câu hỏi số 851273:

Vận dụng

a) Có bao nhiêu số nguyên dương $n$ bé hơn 2026 sao cho $1^{n} + 2^{n} + 3^{n} + 4^{n}$ chia hết cho 5 ?

b) Giả sử $x,y$ là các số tự nhiên thỏa mãn $2x^{2} + x = 3y^{2} + y$. Chứng minh rằng $2x + 2y + 1$ là số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:851273

Phương pháp giải

a) Xét các trường hợp n nguyên dương lẻ, n chia 4 dư 2, n chia hết cho 4 để tìm số nguyên dương n thoả mãn

b) Ta có: $2x^{2} + x = 3y^{2} + y$ $\left. \Leftrightarrow\left( {x - y} \right)\left( {2x + 2y + 1} \right) = y^{2} \right.$

Đặt $d = \left( {x - y,2x + 2y + 1} \right)$. Chứng minh $d = 1$ từ đó suy ra $x - y,2x + 2y + 1$ đều là các số chính phương.

Giải chi tiết

+) Ta thấy với $n$ nguyên dương lẻ thì

$\begin{array}{l} {1^{n} + 4^{n} = \left( {1 + 4} \right)\left( {4^{n - 1} - 4^{n - 2} + \ldots - 4 + 1} \right) = 5\left( {4^{n - 1} - 4^{n - 2} + \ldots - 4 + 1} \right) \vdots 5} \\ {2^{n} + 3^{n} = \left( {2 + 3} \right)\left( {2^{n - 1} - 2^{n - 2} \cdot 3 + \ldots - 2.3^{n - 2} + 3^{n - 1}} \right) = 5\left( {2^{n - 1} - 2^{n - 2}.3 + \ldots - 2.3^{n - 2} + 3^{n - 1}} \right) \vdots 5} \end{array}$

Như vậy với $n$ lẻ thì $1^{n} + 2^{n} + 3^{n} + 4^{n}$ chia hết cho 5 .

+) Ta xét $n$ chia cho 4 dư 2 , đặt $n = 4k + 2,\left( {k \geq 0} \right)$.

Ta có:

$\begin{array}{l} {1^{n} + 2^{n} = 1^{2k + 1} + 4^{2k + 1} = \left( {1 + 4} \right)\left( {4^{2k} - 4^{2k - 1} + \ldots - 4 + 1} \right) = 5\left( {4^{2k} - 4^{2k - 1} + \ldots - 4 + 1} \right) \vdots 5} \\ {3^{n} + 4^{n} = 9^{2k + 1} + 16^{2k + 1} = 25.\left( {9^{2k} - 9^{2k - 1}.16 + \ldots - 9.16^{2k - 1} + 16^{2k}} \right) \vdots 25} \end{array}$

Như vậy với $n$ chia cho 4 dư 2 thì $1^{n} + 2^{n} + 3^{n} + 4^{n}$ chia hết cho 5 .

+) Ta xét $n$ chia hết cho 4, đặt $n = 4k,\left( {k \geq 0} \right)$. Ta có: $1^{4} \equiv 2^{4} \equiv 3^{4} \equiv 4^{4} \equiv 1\left( {\text{mod}5} \right)$.

Suy ra $\left. 1^{4k} \equiv 2^{4k} \equiv 3^{4k} \equiv 4^{4k} \equiv 1\left( {\text{mod}5} \right)\Leftrightarrow 1^{n} \equiv 2^{n} \equiv 3^{n} \equiv 4^{n} \equiv 1\left( {\text{mod}5} \right) \right.$.

Khi đó $1^{n} + 2^{n} + 3^{n} + 4^{n}$ chia cho 5 dư 4 . Hay $1^{n} + 2^{n} + 3^{n} + 4^{n}$ không chia hết cho 5 .

Do đó với $n$ lẻ hoặc $n$ chia cho 4 dư 2 thì $1^{n} + 2^{n} + 3^{n} + 4^{n}$ chia hết cho 5 .

Từ 1 đến 2025 có 1013 số lẻ và 506 số chia cho 4 dư 2.

Vậy có tất cả 1519 số nguyên dương $n$ từ 1 đến 2025 sao cho $1^{n} + 2^{n} + 3^{n} + 4^{n}$ chia hết cho 5 .

b. Với $x = y = 0$ thì $2x + 2y + 1$ là số chính phương.

Xét $x,y$ không đồng thời bằng 0 .

Ta có: $2x^{2} + x = 3y^{2} + y$

$\begin{array}{l} \left. \Leftrightarrow 2\left( {x^{2} - y^{2}} \right) + \left( {x - y} \right) = y^{2} \right. \\ \left. \Leftrightarrow\left( {x - y} \right)\left( {2x + 2y + 1} \right) = y^{2} \right. \end{array}$

Đặt $d = \left( {x - y,2x + 2y + 1} \right)$.

Giả sử $d > 1$ và gọi $p$ là một ước nguyên tố bất kì của $d$.

Khi đó: $\left. \left\{ \begin{array}{l} {p\left| {x - y,p} \right|y^{2}} \\ {p \mid 2x + 2y + 1} \end{array} \right.\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {p\left| {x - y,p} \right|y} \\ {p \mid 2x + 2y + 1} \end{array} \right.\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {p\left| {x,p} \right|y} \\ {p \mid 2x + 2y + 1} \end{array} \right.\left. \Rightarrow p \right|\ 1 \right.$. Dẫn đến vô lý.

Như vậy $d = 1$. Hay $x - y,2x + 2y + 1$ nguyên tố cùng nhau.

Do đó $x - y,2x + 2y + 1$ đều là các số chính phương.

Vậy $2x + 2y + 1$ là số chính phương.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link