1) Từ một mảnh bìa hình quạt tròn bán kính 24 (cm) ứng với cung $150^{\circ}$ (hình 1), Nam gắn hai

Câu hỏi số 851699:

Vận dụng

1) Từ một mảnh bìa hình quạt tròn bán kính 24 (cm) ứng với cung $150^{\circ}$ (hình 1), Nam gắn hai mép giấy dọc theo các bán kính $OA,OB$ lại với nhau để tạo một chiếc mũ sinh nhật có dạng hình nón không đáy (hình 2). Hãy xác định chiều cao của chiếc mũ.

2) Cho tứ giác nội tiếp $ABCD$ có các tia $AB$ và $DC$ cắt nhau tại $F$, các tia $AD$ và $BC$ cắt nhau tại $E$.

a) Chứng minh rằng $\dfrac{BD}{AC} = \dfrac{ED}{EC} = \dfrac{FB}{FC}$.

b) Đường phân giác của góc $AEB$ cắt các cạnh $AB$ và $CD$ tương ứng tại $M$ và $P$, đường phân giác của góc $AFD$ cắt các cạnh $CB$ và $DA$ tương ứng tại $N$ và $Q$.

i) Tứ giác $MNPQ$ là hình gì, tại sao?

ii) Chứng minh rằng giao điểm của $MP$ và $NQ$ nằm trên đoạn thẳng nối các trung điểm của hai đường chéo của tứ giác $ABCD$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:851699

Phương pháp giải

1) Từ hình 1 xác định độ dài cung tròn từ đó suy ra chu vi đáy hình 2

Tính bán kính đáy hình 2 và sử dụng Pitago, ta có chiều cao $h$ hình nón là: $h^{2} + r^{2} = l^{2}$

2) a) Chứng minh các tam giác đồng dạng để suy ra tỉ số $\Delta EAB \sim \Delta ECD\left( {g.g} \right)$; $\Delta EBD \sim \Delta EAC$ (c.g.c) , $\Delta FBD \sim \Delta FCA$ (c.g.c)

b) i) Từ tính chất đường phân giác và tỉ số ở ý a chứng minh song song để suy ra hình bình hành kết hợp với 2 đường chéo vuông góc suy ra hình thoi

b) ii) Gọi $I$ là giao của $MP,NQ$. Gọi $G,H$ là trung điểm của $BD,AC$. Gọi $J$ là trung điểm $MQ$.

Chứng minh $A,J,G$ thẳng hàng.

Từ quan hệ song song chứng minh G, I, H thẳng hàng từ đó suy ra I thuộc GH

Giải chi tiết

1) Giả sử độ dài cung tròn $AB$ trên hình vẽ là $a$, thì $a = \dfrac{150}{180}\pi \cdot 24 = 20\pi\left( \text{cm} \right)$.

Ở hình vẽ 2 , ta có chu vi đáy của hình nón là $a$.

Khi đó, gọi bán kính đáy là $r$, thì ta có: $\left. a = 2r\pi\Rightarrow r = 10\left( {cm} \right) \right.$.

Và độ dài đường sinh của hình nón là $OA = 24\text{cm}$.

Theo định lý Pitago, ta có chiều cao $h$ hình nón là: $\left. h^{2} + r^{2} = OA^{2}\Rightarrow h = \sqrt{24^{2} - 10^{2}} = 2\sqrt{119}\left( \text{cm} \right). \right.$

Vậy chiều cao hình nón: $2\sqrt{119}\left( {cm} \right)$.

a. Do tứ giác ABCD nội tiếp nên $\angle EAB = 180 - \angle BAD = \angle DCB$, kết hợp với $\angle DEC$ chung.

Suy ra $\left. \Delta EAB \sim \Delta ECD\left( {g.g} \right)\Rightarrow\dfrac{EA}{EC} = \dfrac{EB}{ED},\angle DEC \right.$ chung.

Khi đó: $\Delta EBD \sim \Delta EAC$ (c.g.c) $\left. \Rightarrow\dfrac{ED}{EC} = \dfrac{BD}{AC} \right.$.

Chứng minh tương tự thì $\dfrac{FD}{FA} = \dfrac{FB}{FC},\Delta FBD \sim \Delta FCA$ (c.g.c$\left. )\Rightarrow\dfrac{FB}{FC} = \dfrac{BD}{AC} \right.$.

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.

i) Theo tính chất đường phân giác: $\dfrac{QD}{QA} = \dfrac{FD}{FA} = \dfrac{FB}{FC} = \dfrac{NB}{NC}$, và $\dfrac{MB}{MA} = \dfrac{EB}{EA} = \dfrac{ED}{EC} = \dfrac{PD}{PC}$.

Mặt khác theo câu a ta có: $\dfrac{ED}{EC} = \dfrac{FB}{FC}$.

Suy ra $\left. \dfrac{QD}{QA} = \dfrac{MB}{MA},\dfrac{NB}{NC} = \dfrac{PD}{PC}\Rightarrow MQ \right\|\left. BD \right\| NP$.

Tương tự $\left. \dfrac{QD}{QA} = \dfrac{PD}{PC},\dfrac{NB}{NC} = \dfrac{MB}{MA}\Rightarrow PQ \right\|\left. AC \right\| MN$.

Như vậy $MNPQ$ là hình bình hành.

Đồng thời, do tam giác $QEN$ có $EM$ vừa là phân giác vừa là trung tuyến nên $EM$ là đường cao hay $MP$ vuông $QN$.

Vậy $MNPQ$ là hình thoi.

ii. Gọi $I$ là giao của $MP,NQ$.

Khi đó $I$ là trung điểm của $NQ,MP$.

Gọi $G,H$ là trung điểm của $BD,AC$.

Gọi $J$ là trung điểm $MQ$.

Khi đó do $\left. MQ \right\| BD$, ta dễ dàng chứng minh: $A,J,G$ thẳng hàng. (Thales đảo)

Ta thấy $IJ$ là đường trung bình của tam giác $QMN$.

Ta có: $\left. \dfrac{IJ}{AH} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{MN}{AH} = \dfrac{MN}{AC} = \dfrac{BM}{BA} = \dfrac{JG}{AG}\Rightarrow G,I,H \right.$ thẳng hàng.

Như vậy ta có giao điểm $I$ của $NQ,MP$ nằm trên $GH$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link