Cho tam giác $ABC(AB < AC)$ nội tiếp ($O$). Kẻ đường kính $AD$ của ($O$); $AD$ cắt $BC$ ở $E$;
Cho tam giác $ABC(AB < AC)$ nội tiếp ($O$). Kẻ đường kính $AD$ của ($O$); $AD$ cắt $BC$ ở $E$; đường cao $AH$ của tam giác $ABC$ cắt ($O$) ở $F$ khác $A$. Gọi $K$ là hình chiếu của $D$ trên $BC;FK$ cắt $(O)$ ở $I$ khác $F$.
a) Chứng minh rằng $FH = DK$.
b) Gọi $J$ là giao điểm của $AK$ và $EI$. Chứng minh rằng $JE.JI = JA.JK$.
c) Tiếp tuyến tại $A$ của ($O$) cắt $BC$ ở $S$. Chứng minh rằng $SD,EI$ và ($O$) cùng đi qua một điểm.
Quảng cáo
a) $FHKD$ là hình chữ nhật suy ra $FH = DK$
b) Chứng minh hai tam giác $EAJ$ và $KIJ$ đồng dạng suy ra tỉ số
c) Gọi $M$ là giao điểm của $EI$ với ($O$). Chứng minh $S,M,D$ thẳng hàng từ đó suy ra $SD,EI$ và ($O$) cùng đi qua một điểm.
a) Ta có $\widehat{AFD} = 90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Mặt khác $FH\bot HK,DK\bot HK$ nên $FHKD$ là hình chữ nhật.
Suy ra $FH = DK$.
b) Từ ý a) ta có $FD//HK$, suy ra $\widehat{IKC} = \widehat{IFD}$ (đồng vị) $= \widehat{IAD}$ (góc nội tiếp) $\equiv \widehat{IAE}$
Vậy IAEK nội tiếp.
Suy ra $\widehat{EAK} = \widehat{EIK}$ hay $\widehat{EAJ} = \widehat{KIJ}$.
Mặt khác $\widehat{AJE} = \widehat{IJK}$ (đối đỉnh) nên hai tam giác $EAJ$ và $KIJ$ đồng dạng.
Suy ra $\dfrac{JA}{JI} = \dfrac{JE}{JK}$ hay $JE.JI = JA.JK$.
c) Gọi $M$ là giao điểm của $EI$ với ($O$).
Vì $SA$ là tiếp tuyến nên $SA\bot AD$ suy ra $SAKD$ nội tiếp,
Do đó$\widehat{ADS} = \widehat{AKS} \equiv \widehat{AKE} = \widehat{AIE}$ (tứ giác $AIKE$ nội tiếp) $\equiv \widehat{AIM} = \widehat{ADM}$ (góc nội tiếp).
Suy ra $S,M,D$ thẳng hàng hay $SD,EI$ và ($O$) cùng đi qua điểm $M$.
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
