Cho ${\int\limits_{\dfrac{\pi}{6}}^{\dfrac{\pi}{4}}{\left( {2\tan x + \cot x} \right)^2dx =}}\, a + b\sqrt{3} + c\pi$

Câu hỏi số 852298:

Thông hiểu

Cho ${\int\limits_{\dfrac{\pi}{6}}^{\dfrac{\pi}{4}}{\left( {2\tan x + \cot x} \right)^2dx =}}\, a + b\sqrt{3} + c\pi$ (*). Biết rằng, tồn tại duy nhất bộ ba số hữu tỉ $a,b,c$ thỏa mãn (*). Tính tổng $2a + 3b + 12c$.

Đáp án:

Đáp án đúng là: 4

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:852298

Phương pháp giải

Tích phân của hàm số lượng giác

Giải chi tiết

Ta có tích phân:

I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} (2\tan x + \cot x)^2 dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} (4\tan^2 x + 4\tan x \cot x + \cot^2 x) dx

Vì $\tan x \cdot \cot x = 1$, ta có:

I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} (4\tan^2 x + 4 + \cot^2 x) dx

I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} [4(\tan^2 x + 1) + (\cot^2 x + 1) - 1] dx

I = [4\tan x - \cot x - x] \bigg|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}

I = \left(3 - \frac{\pi}{4}\right) - \left(\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\pi}{6}\right) = 3 - \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\pi}{12}

Đối chiếu với $a + b\sqrt{3} + c\pi$:

$a = 3$

$b = -\frac{1}{3}$

$c = -\frac{1}{12}$

Vậy $2a + 3b + 12c = 2(3) + 3\left(-\frac{1}{3}\right) + 12\left(-\frac{1}{12}\right) = 6 - 1 - 1 = 4$.

Đáp án cần điền là: 4

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.