Cho ${\int\limits_{\dfrac{\pi}{6}}^{\dfrac{\pi}{4}}{\left( {2\tan x + \cot x} \right)dx =}}\, a + b\sqrt{3} + c\pi$

Câu hỏi số 852298:

Thông hiểu

Cho ${\int\limits_{\dfrac{\pi}{6}}^{\dfrac{\pi}{4}}{\left( {2\tan x + \cot x} \right)dx =}}\, a + b\sqrt{3} + c\pi$ (*). Biết rằng, tồn tại duy nhất bộ ba số hữu tỉ $a,b,c$ thỏa mãn (*). Tính tổng $2a + 3b + 12c$.

Đáp án:

Đáp án đúng là: 4

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:852298

Phương pháp giải

Tích phân của hàm số lượng giác

Giải chi tiết

$\begin{array}{l} {\int\limits_{\dfrac{\pi}{6}}^{\dfrac{\pi}{4}}{\left( {4\tan^{2}x + 4 + \cot^{2}x} \right)dx}} \\ {= 4{\int\limits_{\dfrac{\pi}{6}}^{\dfrac{\pi}{4}}{\left( {\tan^{2}x + 1} \right)dx + {\int\limits_{\dfrac{\pi}{6}}^{\dfrac{\pi}{4}}{\left\lbrack {\left( {\cot^{2}x + 1} \right) - 1} \right\rbrack dx}}}}} \end{array}$

$\begin{array}{l} {= 4\left. {\tan x} \right|_{\dfrac{\pi}{6}}^{\dfrac{\pi}{4}} - \left. {\cot x} \right|_{\dfrac{\pi}{6}}^{\dfrac{\pi}{4}} - \left. x \right|_{\dfrac{\pi}{6}}^{\dfrac{\pi}{4}}} \\ {= 4\left( {\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{3}} \right) - \left( {\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{3}} \right) - \left( {\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{6}} \right)} \\ {= 3 - \dfrac{\sqrt{3}}{3} - \dfrac{\pi}{12}} \end{array}$

Khi đó $a = 3,\,\, b = - \dfrac{1}{3},\,\, c = - \dfrac{1}{12}$

Vậy $2a + 3b + 12c = 4$

Đáp án cần điền là: 4

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.