Cho các số thực dương a, b,c thay đổi luôn thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng : + + ≥ 2.

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 8596:

Cho các số thực dương a, b,c thay đổi luôn thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng : $\frac{a^{2}+b}{b+c}$ + $\frac{b^{2}+c}{c+a}$ + $\frac{c^{2}+a}{a+b}$ ≥ 2.

A. Dấu “=’ xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = $\frac{1}{3}$ (đpcm)

B. Dấu “=’ xảy ra khi và chỉ khi - a = b = c = $\frac{1}{3}$ (đpcm)

C. Dấu “=’ xảy ra khi và chỉ khi a = b = - c = $\frac{1}{3}$ (đpcm)

D. Dấu “=’ xảy ra khi và chỉ khi a = - b = c = $\frac{1}{3}$ (đpcm)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:8596

Giải chi tiết

Ta có: $\frac{a^{2}+b}{b+c}$ = $\frac{a(1-b-c)+b}{b+c}$ = $\frac{a+b}{b+c}$ - a

Tương tự , BĐT đã cho trở thành:

$\frac{a+b}{b+c}$ - a + $\frac{b+c}{c+a}$ - b + $\frac{c+a}{a+b}$ - c ≥ 2 ⇔ $\frac{a+b}{b+c}$ + $\frac{b+c}{c+a}$ + $\frac{c+a}{a+b}$ ≥ 3

Theo bất đẳng thức Cô – si ta có:

$\frac{a+b}{b+c}$ + $\frac{b+c}{c+a}$ + $\frac{c+a}{a+b}$ ≥ 3 $\sqrt[3]{\frac{a+b}{b+c}.\frac{b+c}{c+a}.\frac{c+a}{a+b}}$ = 3

Dấu “=’ xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = $\frac{1}{3}$ (đpcm)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.